两类计数原理两类计数原理一、加法原理和分类计数法1．加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。2．第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。3．分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。二、乘法原理和分步计数法1．乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。2．合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。例1、将四个不同信封装入3个不同抽屉中，问共有多少种方法？排列组合的定义及公式排列组合的定义及公式弧⑴帕械亩ㄒ寮捌浼扑愎剑?从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。规定0!=1规定二、组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。例1、4人跑4×100米接力赛（1）甲、乙都不跑第一棒的安排方法有种，（2）甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的安排方法有种，（3）甲不跑第一棒也不跑第四棒的安排方法有种。2、用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个3、平面上4条平行直线与另外5条直线互相垂直，则它们构成的矩形共有个4、从0、1、2、…、9这十个数字中取出三个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的五位数，共有个。5、从1、2、3、…、9这9个数中任取7个数，按从小到大的顺序排成一列，则不同排列的个数是。6、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得一本，一人得两本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆。7、6个人进两间屋子，各有多少种分配方法？（1）每屋都进3人；（2）每屋至少进1人；（3）每屋至少进2人；8、从1、2、·、20中任取3个数组成等差数列，求能组成的不同等差数列的个数。··9、将4个相同的信封装入5个不同的抽屉里，问共有多少种方法？排列组合解题常用方法：排列组合解题常用方法：解题常用方法特殊元素（位置）用优先法：一.特殊元素（位置）用优先法：把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？相邻问题用捆绑法：二.相邻问题用捆绑法：对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例2.5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？不相邻问题用插空法题用插空法：三.不相邻问题用插空法：元素不相邻问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例3.7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？定序问题用除法：四.定序问题用除法：对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定。例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？分排问题用直排法：五.分排问题用直排法：对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例5.9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？六．“小团体”排列问题中先整体后局部的策略小团体”例6．7个人排成一行，甲乙两人间恰有3人的排法共