LinearLinearControlControlSystemSystem中南大学信息科学与工程学院陈理渊第3章第第33章线性系统的运动分析章线性系统的运动分析3.1引言3.2连续时间线性时不变系统的运动分析3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵2第3章3.1.3.1.引言引言运动分析的数学实质给定初始条件和输入求解微分或差分方程xAtxBtuxtxttt=()+=∈()(00),[0,f]xAxBux=+=≥(0)xt0,0xGxHu(kkkkkk+=1)()()+()(),=0,1,xGxHu(kkkk+=1)()+(),=0,1,3第3章3.1.3.1.引言引言当且仅当状态方程的解存在而且唯一,运动分析才有意义物理系统A(t),B(t),u(t)在[,tt0α]上是连续实函数,根据微分方程理论解存在且唯一解的存在性和惟一性条件tαforA():taijdt<∞,,ij=1,,n∫t0tα2forB(t):[]bik(t)dt<∞,i=1,,n,k=1,,p∫t0tα2foru():t[]uk()tdt<∞,k=1,,p∫t04第3章3.1.3.1.引言引言零输入响应和零初态响应xuxAtxBtu=()+()x0xu=00uux0xxAtx=+()Btu()xAtxBtu=()+()x0x0≡05第3章3.23.2连续时间线性连续时间线性时不变时不变系统的运动分析系统的运动分析系统的零输入响应矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的算法系统的零初态响应系统状态运动规律的基本表达式基于特征结构的状态响应表达式6第3章3.2.13.2.1系统的零输入响应系统的零输入响应考察连续时间线性时不变系统令系统输入为零，导出系统自治状态方程：.xAxx==≥,(0)x0,t0其中，x为n维状态,A为n维常阵，11∞ettAtk=I++AA22+=∑Atk2!k=0k!结论结论【【零零输入响应输入响应】】连续时间时不变系统的零输入响连续时间时不变系统的零输入响应，既系统自治状态方程的解有如下表达式：应，既系统自治状态方程的解有如下表达式：Atxx00u()te=,t≥07第3章证对自治方程，表其解x0u()t是系数为待定向量的一个幂级数，有∞2k（（1））xbbb0012uk()ttttt=+++=∑b,≥01k=0那么，使其满足自治方程，可以导出：22（）bb12+23tt++=++b3AbAbAb01t2t+≥,0t（22）由等式两边tkk(=0,1,2,...)项的系数向量必为相等，得到：bAb10=11bAbAb==22122!08第3章11bAbAb==33233!011bAbAb==kkkkk−10!（（33））再将再将上式代入（上式代入（22），进而可得：），进而可得：11xIAAAb()ttttt=+(+22+33+),≥0（（44））00u2!3!令，并使其满足，得到令t=0t=0，并使其满足xx(0)=0，得到bx00=将其将其代入（代入（44），既证得零输入响应的表达式：），既证得零输入响应的表达式：9第3章基于上式，可对线性时不变系统零输入响应的属性导出如下结论：（1）零输入响应的几何特征（2）零输入响应的运动属性（3）零输入响应的形态（4）零输入响应趋向平衡状态x=0属性（5）零输入响应的计算（6）零输入响应表达式的更一般形式10第3章3.2.23.2.2矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质矩阵指数函数eAt线性时不变系统运动和特性的分析中具有基本的重要性，因此我们先了解它的基本性质：（1）在eAtt=0的值limeIAt=t→0（2）eAt相对于时间分解的表达式eeeeeAt()+τττ==AtAAAt11第3章At−1−At（3）的逆eAt()e=e（4）矩阵和的指数函数eeeee()A+Ft==AtFtFtAt（5）对eAtt的导数deAt=AeAt=eAtAdt（6）逆对eAtt的导数deAeeA−−−AtA=−tA=−tdt（7）eAt积的关系式()eemAtm==A()mt,0,1,2,12第3章3.2.33.2.3矩阵指数函数的算法矩阵指数函数的算法矩阵指数函数的算法通常如下有4种：（1）定义法给定n维矩阵A，则计算的eAt算式为：11eI