习题二2-1已知y=f(x)的数值如下：(1)x0123y2312147(2)x-2-101y154524求Lagrange插值多项式并写出截断误差。解：(1)(2)2-2已知函数lnx的如下数据x8101214y试分别用Lagrange线性插值和二次插值计算ln(11.85)的近似值，并估计它的截断误差。解：线性插值公式：当x=11.85时，二次插值：误差估计：。2-3设为任意给定的n+1个互不相同的节点，证明：若f(x)为不高于n次的多项式，则f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。若是关于这组节点的Lagrange基函数，则有恒等式证明：(1)因为f(x)是n次多项式，所以它的n+1阶导数为零。故f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。(2)取，在处进行n次拉格朗日插值，则有由于，故有。(3)将按二项式展开，得，则由上题的结论得：。2-4已知函数表xy试构造四次Newton插值多项式，计算cos0.47的近似值并估计截断误差。解：自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.10.2P4(x)=0.9950-0.149(x-0.1)-0.4867(x-0.1)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)+0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)当x=0.47时，P4(x)=。2-5在区间[-4,4]上给出f(x)=ex在等距节点下的函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问所用函数表的步长应怎样选取？解：在区间[xi-1,xi]上，记误差则用二次插值的步长应：2-6对区间[a,b]作步长为h的剖分，且，证明：在任意相邻两节点间做线性插值，其误差限为。证明：区间上的误差限：误差限：2-7设,计算差商,及.解：自变量函数值一阶差商1-8862-2975-2089=-2089，，。2-8设在有三阶导数，，证明：当证明：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件：xx0x1yf(x0)f(x1)y’f’(x0)建立差商表：自变量函数值一阶差商二阶差商x0f(x0)x0f(x0)f’(x0)x1f(x1)则由newton插值公式可得：整理得：其中R(x)由以下计算得到：构造辅助函数：有,,三个零点，有,,三个零点，则至少有一个零点，记作。则。2-9用下列函数值表构造不超过3次的插值多项式，并建立误差估计式。x012f(x)129f’(x)3解：建立差商表：自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商01121123229741则由newton插值公式可得：。误差估计式：。2-10求满足下列条件的Hermite插值多项式xi12yi23y’i1-1解：2-11求一个不高于4次的插值多项式P4(x)，使得。解：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件：x012P011P’01建立差商表：自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0000011111110-1210-1则由newton插值公式可得：。2-12根据下表建立三次样条插值函数x123f(x)242f’1(x)1-1解：,,列方程：则三次样条插值函数为：=8-16x+13x2-3x3，。=-40+56x-23x2+3x3，。2-13已知y=f(x)的如下数值x01234y-8-701956求三次样条插值函数S(x)，满足边界条件S’(0)=0，S’(4)=48S”(0)=0，S”(4)=24解：用三转角算法计算：(1),,,,,,列方程组：则三次样条插值函数为：=x3-8，。=x3-8，。=x3-8，。=x3-8，。(2)列方程组：则三次样条插值函数为：=x3-8，。=x3-8，。=x3-8，。=x3-8，。用三弯矩算法计算：(1),,,,,,，列方程组：(2)列方程组：第三章最佳逼近3-1求下列函数在指定区间上得一次最佳平方逼近多项式并估计平方误差(1)，解：设法方程组为：基函数为：，，得到：，，，，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：。(2)，解：设法方程组为：基函数为：，，得到：，，，，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：。(3)，解：设法方程组为：基函数为：，，得到：，，，，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：