排列、组合与二项式定理以其独特的研究方法，在中学数学中占有特殊的地位，是高中数学中相对独立的内容，不论是思想方法还是解题技巧，与其他章节都有很大的不同.排列、组合的应用问题一直是高考的热点，历年高考试题都以考查基本知识和基本技能、方法为主，准确使用公式是重点.二项式定理也是高考的必考内容，在高考试卷中，对二项式定理的考查有二项展开式中的系数问题，特定项系数问题，两个二项展开式的积等，多以选择题和填空题的形式出现.解析：依题意知，每位同学都各有5种不同的选择，由乘法原理得知，满足题意的选法总数为56种．2．(2010·全国卷Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种答案：A答案：A1．两个计数原理(1)分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．(2)分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同方法．n(n－1)…(n－m＋1)2n1.在应用分类计数原理和分步计数原理解决问题时，一般是先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，从而使问题得以解决．[例1](1)(2010·全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种(2)(2010·辽宁六校联考)一生产过程有4道工序，每道工序都需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案有()A．24种B．36种C．48种D．72种[答案](1)B(2)B解决排列组合应用题通常分以下三步：(1)分清问题的性质是分类还是分步，大多有条件的问题既要分类又要分步，然后寻找特殊元素或特殊位置进行分类，注意分类时不要重复，不要遗漏．(2)进行分类计算，通常情况下先选后排，写出每一类或每一步的方法种数，并认真计算．(3)将各类方法种数相加或将各步方法种数相乘，即得结论．[例2](1)(2010·四川高考)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．144(2)(2010·海淀模拟)某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有()A．72种B．54种C．36种D．18种(3)(2010·江西高考)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[思路点拨](1)利用“捆绑法”与“插空法”去分析解决；(2)分两类讨论；(3)先分组再分配．[答案](1)C(2)B(3)90在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；③公式中a，b的指数和为n，a，b不能随便颠倒位置；④要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；⑤对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．[思路点拨](1)分情况搭配两个二项式中相关项(2)利用通项可判断(3)注意各项系数之和与二项式系数之和区别(4)赋值法[答案](1)A(2)6(3)D(4)A在解决有关二项式定理的问题时学生最常见的错误将通项求错或概念混淆，如二项式系数之和与各项系数之和是不同的，另外对于特定问题如有理项的含义理解不到位，易丢失常数项，要注意有关二项式的基本知识并牢固掌握，才能处理好二项式问题．(1)将本例(3)题中的“各项系数之和为125”改为“二项式系数之和为64”，仍求展开式中的常数项．(2)本例(4)题中的条件不变求(a0＋a2＋a4＋…＋a2008)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2009)的值．分类讨论思想[例4](2010·湖北高考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲