导数中档题单调性一知识清单1.单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二、与单调性相关的问题已知函数，求导数，并确定的单调区间.解：令，得.当，即时，的变化情况如下表：—0—当，即时，的变化情况如下表：—0—所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减.2）已知函数(Ⅰ)当时，求曲线在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求的单调区间。解：（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是3）已知函数，讨论的单调性.解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.4）设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.解：(Ⅰ)因，所以即当因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以解得(Ⅱ)由(Ⅰ)知5）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求k的取值范围.解：（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增；若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.6）已知函数其中（=1\*ROMANI）当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（=2\*ROMANII）当时，求函数的单调区间与极值。（=1\*ROMANI）解：（=2\*ROMANII）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m7）已知函数，，其中．设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；解析：因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；8）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)=x(x－2).(1)求f(－1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在[－3，3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3，3]上的单调性；(3)求出f(x)在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.解：(1)f(0)=f(2)=0，f(1)=1(1－2)=－1.f(－1)=kf(－1+2)=kf(1)=－k..（2）当2≤x≤3时，0≤x－2≤1，当－2≤x≤0时，0≤x+2≤2，f(x)=kf(x+2)=kx(x+2)(－2≤x≤0)当－3≤x≤－2时，－1≤x+2≤0，f(x)=kf(x+2)=k·k(x+2)(x+4)=k2(x+2)(x+4)(－3≤x≤－2)所以，f(x)的递增区间是[－3，－1]和[1，3]f(x)的递减区间是[－1，1]．(3)由(2)知，函数的最大值可能在x=－1或x=3取得函数的最小值可能在x=－3或x=1取得．因为