第26卷第4期集宁师专学报Vol.26No.42004年12月JournalofJiningTeachersCollegeDec..2004文章编号1009-7171(2004)04-00011-02群的七个等价定义及证明王燕(集宁师专数学系内蒙古集宁012000)摘要本文给出了群的七个定义并采用循环方法证明了它们的等价性有助于加深对群的定义的理解和灵活应用关键词群代数运算代数系统集合中图分类号O152文献标识码A1引言群是一个具有一种代数运算的代数系统它的定义方法很多比如在不同问题的讨论中为了方便人们采用乘法除法等不同运算形式来定义群而这些定义是彼此等价的下面给出采用乘法运算形式的群的定义2定义定义1群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足I封闭性"a,bÎG,$cÎG,使ab=cII结合性"a,b,cÎG,a(bc)=(ab)cIII左单位元$eÎG,"aÎG,ea=aIV左逆元"aÎG,$a-1ÎG,a-1a=e定义2群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足III同上III可解性"a,bÎG方程ax=b,ya=b在G中有解定义3群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足III同上III右单位元$eÎG,"aÎG,ae=aIV右逆元"aÎG,$a-1ÎG,aa-1=e定义4群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足III同上III左单位元$eÎG,"aÎG,ea=aIV右逆元"aÎG,$a-1ÎG,aa-1=eV右消去律"a,b,cÎG,若ab=cb则a=c定义5群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足III同上III右单位元$eÎG,"aÎG,ae=aIV左逆元"aÎG,$a-1ÎG,a-1a=eV左消去律"a,b,cÎG,若ab=ac则b=c定义6群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足III同上III左单位元$eÎG,"aÎG,ea=aIV右逆元"aÎG,$a-1ÎG,aa-1=eV右商不变性"a,bÎG,a-1a=b-1b定义7群G是一个非空集合具有一个叫乘法的代数运算且满足III同上III单位元$eÎG,"aÎG,ea=ae=aIV逆元"aÎG,$a-1ÎG,aa-1=a-1a=e3证明只证定义条件中的不同部分定义1Þ定义2III由定义1中的IVG中有无a'使得a'a-1=e所以(a'a-1)(aa-1)=e(aa-1)=(ea)a-1=aa-1但(a'a-1)(aa-1)=a'[(a-1a)a-1]=a'(ea-1)=a'a-1=e则aa-1=e取x=a-1b由I,a-1bÎG又a(a-1b)=(aa-1)b=eb=b所以ax=b的解同理ba-1是ya=b的解收稿日期:2004-08-17万方数据12集宁师专学报2004年定义2Þ定义3III取定G中某一元b方程bx=b在G中有解任取其一解记作e有be=b对于"aÎG由方程yb=a在G中有解任取其一解ccb=a于是ae=(cb)e=c(be)=cb=a即e是G中右单位元IV"aÎG,方程ax=e在G中有解取其一解a-1有a-1a=ea-1为a的右逆元定义3Þ定义4III"aÎG由IV$a-1ÎGa1ÎG使aa--1=e,a1a'=e所以a---------1a=(a1a)e=(a1a)(a1a')=a1(aa1)a'=(a1e)a'=a1a'=e=aa1于是ea=()aa-1a=a()a-1a=ae=ae是G的左单位元V若ab=cb$b-1ÎGbb-1=e从而()()abb----1=cbb1,a()(bb1=cbb1),a=c右消去律成立定义4Þ定义5IV"ÎaG,,$a-1a'ÎG使aa--1=e,a1a'=e(a-------1a)e=(a1a)(a1a')=a1(aa1)a'=a1(ea')=a1a'=e=e×e由定义4的V有a-1a=e所以a-1是a的左逆元III"aÎGae=a()()a--1a=aa1a=ea=ae是G的右单位元V"Îa,,bcG若abÎac则()()a--1ab=a1ac即eb=ec,b=c左消去律成立定义5Þ定义6IIIIV在定义5的条件下与前边类似可证明a--1a=e=aa1即a-1是a的右逆元ea=ae=a即e是G的左单位元V"Îa,,bGa--1()()ab=a1ab=eb=b()()baa--1=baa1=be=b即a--1()()ab=b=baa1a------1a=a1[(ab)b1]=[a1(ab)]b1=bb1上式对"Îa,bG均成立因此有b--1b=bb1a--1a=aa1从而有a--1a=bb1定义6Þ定义7IV"aÎG有aa-1=e且