第20卷第4期新疆教育学院学报Vo1．20，No．42003年11月J()INALOFⅪNJIANGEDUCATIONINSTITUTEDec．2003单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明马爱江(新疆轻工职业技术学院，新疆鸟鲁木齐830000)摘要：单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论，而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。关键词：单调；有界；数列；极限；等价中围分类号：0l3文献标识码：A文章编号：1008-3588(2003)04-0095-02单调有界数列必有极限与柯西收敛准则以其简洁、明了、实用性强的特点在《数学分析》中起着很重要的作用，它们都为实数系的基本性质，并且等价，下面就其等价性加以证明。定理1：单调有界数列必有极限如果数列{)具有以下特点：对任意给定的￡>0，存在正整数N，当n，m>N时有l一al<￡，就称{)是一个柯西数列或基本数列。定理2：(柯西收敛准则)数列{}收敛的必要且充分条件是：{}柯西数列。定理1定理2．必要性：易知，当{a)有极限时(设极限为a)，{)一定是一个柯西数列。因为V￡>0，3N(N为正整数)。当n，m>N时，有lan—al<去，l一al<吾厶‘．．1一l≤l一al+l一al<￡这就证明了{)是一个柯西数列。充分性：先证明柯西数列{)是有界的。取￡一1，因{)是柯西数列，所以存在某个正整数No，当n>No时有l一+·!<1，亦即当n>No时laol≤laNo+Il+1即{ao)有界。不妨设{)≤Ea，b]即a≤≤b，我们可用如下方法取得{)的一个单调子列{an)(1)取{ank)∈{)使[a，ank]或[ank，b]中含有无穷多的{a)的项(2)在[a，k]或[ank，b]中取得ank+。∈{an)且满足条件(1)并使nk+。>nk(3)取项时方向一致，即要么由a—b要么由b—a。由数列{a)的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{an){)且{ank)是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{)收敛于a。*[收稿日期]2oo3一O8—27[作者简介]马爱江(1966-)，女，新疆轻工职业技术学院讲师。95第19卷第4期新疆教育学院学报2003年12月~3tTlima．—a~mJx,-J"V￡>o，]正整数K，当k>KmJla．—aI<专。另一方面由于{arIk)是柯西数列，所以存在正整数N，当n，m>N时Ian—amI<专。取n0一max(k+1，N+1)，有n0≥nN+l>N以及no>k+>k。所以当n>N时Ia．maI≤Ian一I+I一aI<￡’．．{an)收敛于a定理2定理1不妨设{an)为单调增加有界数列。若其不满足柯西数列条件则可得：对V正整数N，]n>m>N使an—am≥￡这样我们可适当选取N可得{an)的两子列{)与{)使一≥￡0n>rni(i一1，2，⋯⋯)且+l>+>>kkk则∑(一)≥∑￡0∑(一)≥k￡0l=1l=Il=■arIk一[(‰一arIk—1)+(‰一l—arIk一)+⋯⋯+(一+am1]≥arIk≥kEo此与{a0)单调有界矛盾。因此{an)是柯西数列，{an)收敛综上所述，可知单调有界数列必收敛与柯西收敛准则等价。参考文献[1]方企勤．数学分析．北京大学出版社．[2]欧阳光中．数学分析．复旦大学出版社TheEqualValueCertificateoftheEssentialLimitofMonotonicBoundedSequenceofNumberandCauchyConvergentNormMaAijiang(XinjiangLightIndustrialandVocational-technicalCollege，Urumqi830000，Xinjiang)Abstmct：ItisequalinvalueofprovedthatithadnecessarylimitwhichsequenceofnumbersaremonotonOUSandboundedorconvergeofCauchy'snorm．Keywords：monotonous；bounded；sequenceofnumbers；limit，equalinvalue96