..第13卷第4期周口师专学报Vol13No4J.1996年12月JOURNALOFZHOUKOUTEACHERSCOLIEGEDee1996谈谈用定义证明极限问题任立顺(数学系)摘要本文给出了用定义证明极限的五步法,找出了用定义证明极限的规律,解决了极限教与学的难.点。关键词数列极限函数极限极限理论是数学分析中的重点,因为它的思想贯穿整个分析始终。同时,也是教与学的难点。这是因为它的定义及证明方式都与初等数学有着显著的区别。由于初等数学证明思想的束缚,使得新生对此极不习惯。因此这就增加了讲授的困难。根据这些情况,我对用定义证明极限及求极限等问题进行了如下讲授,现整理成文,供教学交流,盼望得到指教。1用极限定义证明数列极限问题我们先看数列极限的定义:n,,,,,。,设{a}是一个数别a是一个常数对V。>0日N当n>N时都有:}a一a}<。则称。,n数列{a}的极限为a记lima=an分co,,,从上定义可以看出数列极限的证明关键在于N的“存在”上而不是求“最小”的N这,n,。样我们通过!a一ai<。求N中就不能死盯住原不等式不变可以采用适当放大法这个运。。算技巧,使得}a一a}<。变成一个很易求N的不等式由于应用该法没有具体的模式,因此,同学们往往会出现这样或那样的错误,真对这些情况,我在讲授时,尽可能地写出同学们易出现错误的地方,采用多种方法,让同学们判正误,在此基础上,帮助同学们摸索出规律性的东西,现举例如下:2n2一n一11例证明Limz3n+Zn一7证明:用适当放大法估计不等式,2n2一n一127n一11._.7n._7n_1一、、.l二一犷布花万一一二一下万二】一l二万花丁,犷下e二,se一二万卜众!二丁二一万-下万万--一二二卜女下下咬<又C“一““‘一jl月乙fl一fjj气jn十乙1一了,J气jn州卜乙n一门日1fl,,,⋯v。>。:N一:音〕当n>N时都有.2n2一n一12.二一一el,子气z,任毛一于1‘、-3n+Zn一73<该题是用了“适当放大法”,使得N很易求出,但是,在放大过程中却忽略了使不等式成。、立的条件上式中第一三不等式对任意的n是成立的,但第二个不等式成立是有条件的,必一。须在2。一7>O冷n)叠时才。。成立,-因此该题的N应取:m二‘〔〕〔72一告扮产例2证明hm母厂石一1~证明:法1:}毋/下一1}~令不一1<。冷召下<。+1··￡枷<,(卜卜)=>扣些糕卫于是取N一喘攀粉〕..,,:V。>0日N当n>N时有}了万}<。::法2由法1得价丝l糕卫沙黯卫(n>2)·、\韶礼于是取N{2瑞兴荀})。。。该题法一的解法是错误的错一在N中含有变量n因为我们所求的N,要求仅与。有关法二克服了上面解法的错误,并且也避免了例]的错误,看起来好象无什么问题。但易_、、,,、.,_,、.、,,,~一上l,In(1+。)‘,~二‘~一~。~1,In(1+。)一_~。一~。,、、甲,’’‘、田一一仁二犷一入一囚n抓址万11久111乙肌水幽开小能休让万久一瓦万肤兄此也小肪休址曰尸时:.!了万一1}<。成立该题正确的解法是::、,t,、记:h=护万一1冷母气不一1+h冷。二(z十h,).,nn。,。、nn,。,~,、.n”:n(一1)n(一1)nn11十n竺之二二Z黑Zn1=(+h)=h+气止h.’“+⋯+h“)h())一一二号2二2上.22”,。,、/”兰二h冷h<、一冷‘I二气n一1一丫n一1:即}二一1}<<·解得n>1谙取N一仁1+夕.E,,德n,乙:V>o刁N当>N时有卜令下一1{<3n2+n33:例证明1im2孟二蕊2n一12e证引黯一韵一黯<罕<取N一仁〕扁·,,,⋯V。>O日N一仁]当n>N时有Ia一3/2‘<已’‘扁,,,该题的解法,形式上看似乎没有什么错误但仔细看一下所求的N是没有意义的如,。,。~1/2时N就不存在原因是放大过头了正确的解法要保证放大后的式子仍为无穷小量。综上几例,我们得到数列极限按定义证明中求N的步骤为:。,n,,l1采用“适当放大法”使得:}a一al簇⋯⋯簇q(:、、<。limq(n)=0且用q(,)<。求,n。N比la一、1<:求N更方便。2o检验每步放大使不等式成立的条件。。3求出使每个不等号都成立的公共N且这个N仅与￡有关,而与n无关2函数极限的定义证明,。由于学了数列极限的定义证明对函数极限的定义证明有很大的帮助函数极限中的a。“代替了数