2013年高考第一轮复习资—理科数学第44讲不等式的综合应用【考点解读】⑴不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决【知识扫描】1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．【考计点拔】牛刀小试：1．若集合{x|3asinx－2a+1=0,x∈R}=φ，则实数a的取值范围是（）A．{0}B．（－1，）C．（－∞，－1）∪（，+∞）D．（－，1）2．θ是第一象限角，那么恒有（）A．B．C．D．3．设a,b∈R+，则下列不等式中一定不成立的是（）A．B．C．D．4．设集合,,则A∩B=（）A．B．C．D．5．已知函数，则（）A．B．C．D．参考答案：BBDDB【典例解析】考点一：应用不等式求变量的范围例1.若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.解:令t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋at＋a＋1＝0，变形得【变式训练1】：已知方程sin2x－4sinx＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6]B．[－2，6]C．[－3，2]D．[－2，2]解:B考点二：应用不等式解应用题例2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k＞0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，得b＝(0＜a＜30)①于是y＝＝≥当a＋2＝时取等号，y达到最小值.这时a＝6，a＝－10(舍去).将a＝6代入①式得b＝3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0).因为a＋2b≥2，所以+ab≤30，当且仅当a＝2b时，上式取等号.由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18.即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2＝18.解得b＝3，a＝6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【变式训练2】：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时解:C考点三：结合二次函数、应用不等式解决有关问题例3.已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2.证明:(1)由a＋b＋c＝0得b＝－(a＋c).Δ＝(2b)2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋ac＋c2)＝4[(a＋)2＋c2]＞0.故此函数图象与x轴交于相异的两点.(2)∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.由a＞b得a＞－(a＋c)，∴＞－2.由b＞c得－(a+c)＞c，∴＜－.∴－2＜＜－.l＝|x1－x2|＝.由二次函数的性质知l∈(，2)【变式训练3】：设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并加以证明．证明:(1)又c＜b＜1，故又方程f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根．故△＝4b2－4(c－1)≥0，即(c＋1)2－4(c