2013年高考第一轮复习资—理科数学第45讲绝对值不等式的应用【考点解读】1．理解性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|，应注意等号成立的条件．2．理解含绝对值的不等式的总体思想：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，应注意绝对值与函数问题的结合．【知识扫描】1、有关绝对值不等式的主要性质：①|x|＝②|x|≥0③||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|④|ab|＝，＝(b≠0)特别：ab≥0，|a＋b|＝，|a－b|＝．ab≤0，|a－b|＝，|a＋b|＝．2、最简绝对值不等式的解法．①|f(x)|≥a；②|f(x)|≤a；③a≤|f(x)|≤b．④对于类似a|f(x)|＋b|g(x)|>c的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解【考计点拔】牛刀小试：1、不等式|2-x|>0的解集是（）A、B、RC、｛2｝D、｛x|x2｝2、设全集U=｛x||x-2|>1｝，A＝{x||x+1|1}，则CUA等于（）A、｛x|x<-2或x>0｝B、｛x|x<1或x＞3｝C、{x|x<-2或0＜x＜1或x>3}D、｛x|1<x<3｝3、不等式|ax+b|c的解集为非空集合，则c的取值范围是（）A、c0B、c>0C、c<0D、c04、若不等式|1-kx|<2的解集是{x|-1<x<3}，则的k为（）A、-2<k<1B、<k<1C、k=1D、k=-35、不等式的解集是（）A、｛x|0<x<1｝B、｛x|-1<x<0｝C、｛x|-1<x<0且x｝D、｛x|x<-1或x>0｝参考答案：DCACC【典例解析】考点一：解绝对值不等式例1.已知函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。（Ⅱ）当时，，设，于是，所以当时，；当时，；当时，。【变式训练1】：（2011辽宁高考）已知函数=|x-2|x-5|．（I）证明：≤≤3；（II）求不等式≥x2x+15的解集．解析：（I）当所以（II）由（I）可知，当的解集为空集；当；当.综上，不等式考点二：证明绝对值不等式例2.设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).解：∵｜x－a｜＜1∴｜f(x)－f(a)｜＝｜(x2－x＋b)－(a2－a＋b)｜＝｜x－a｜｜x＋a－1｜＜｜x＋a－1｜＝｜(x－a)＋2a－1｜≤｜x－a｜＋｜2a｜＋1＝2(｜a｜＋1)【变式训练2】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，|g(x)|≤4.证明(1)∵｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤2｜g(1)｜＝｜c＋b＋a｜＝｜f(x)｜≤2(2)当｜x｜≤1时，｜g(x)｜＝｜cx2＋bx＋a｜＝｜c(x2－1)＋bx＋a＋c｜＝｜c(x2－1)｜＋｜bx＋a＋c｜≤｜c｜＋｜a±b＋c｜≤2＋2＝4考点三：绝对值不等式的极值、最值问题例3.已知f(x)＝，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求的最小值；⑵若不等式>1对x∈[1,4]恒成立，求a的取值范围．解:(1)a＝4时，最小值15；(2)，x∈[1，4]恒成立．等价变形后，只要a(t＋)＞2，t∈[1，2]恒成立(t＝)设h(t)＝a(t＋)，h'＝(t)a(1－)当0＜t＜时，h'(t)＜0，h(t)单调递减；当t＞时，h'(t)＞0，h(t)单调递增；当t＝时，h'(t)＝0，h()为极小值；这样对于t∈[1，2]有①＞2时，h(t)min＝h(2)＝a(2＋)＞2a＞4②1≤≤2时，h(t)min＝h＝2a＞2∴1＜a≤4③0＜＜1时，h(t)min＝h(1)＝a(a＋1)∴无解综上知：a＞1