专项1与圆的性质有关的辅助线作法类型1与垂径定理有关的辅助线作法1.[2021广州番禺区期中]如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()A.B.2C.3D.22.[2022龙岩期中]如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=3,BP=7,∠APC=30°,则CD的长为()A.B.2C.4D.83.[2022上饶期中]如图是某蔬菜基地搭建的一座圆弧形蔬菜棚,跨度AB=3.2米,拱高CD=0.8米(C为AB的中点,D为的中点).(1)求该圆弧所在圆的半径;(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度.(2)如图,过点O作OH⊥FE,交FE的延长线于点H,连接OF,则OH=CE=BC-BE=1.2米,OF=2米,在Rt△OHF中,HF===1.6(米).∵HE=OC=OD-CD=1.2米,∴EF=HF-HE=0.4米,故支撑杆EF的高度为0.4米.类型2与等弧有关的辅助线作法4.如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,=,若∠AOB=58°,则∠BDC的度数为()A.29°B.58°C.116°D.120°5.[2022保定期中]如图,四边形ABDC内接于☉O,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,连接OB,OC.(1)求证:四边形OBDC是菱形.(2)若∠ABO=15°,OB=2,求AC的长.(2)解:如图,连接OA,∵OB=OA,∠ABO=15°,∴∠AOB=150°.由(1)知∠BOD=∠COD=60°,∴∠AOC=360°-150°-60°-60°=90°.在Rt△AOC中,OA=OC=2,∴AC==2.类型3与直径有关的辅助线作法6.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100°B.110°C.115°D.120°7.如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为()A.35°B.38°C.40°D.42°8.如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC,AC分别交☉O于点D,E.(1)求证:BD=DE=DC.(2)若DE=,AB=5,求AE的长.8.(1)证明:如图,连接AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.又AB=AC,∴BD=DC,∠ABC=∠C.∵四边形ABDE为☉O的内接四边形,∴∠AED+∠ABC=180°,又∠AED+∠CED=180°,∴∠ABC=∠CED,∴∠CED=∠C,∴DC=DE,∴BD=DE=DC.(2)解:如图,连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵DE=,AB=5,∴DC=BD=,AC=5.设AE=x,则CE=5-x,∵AB2-AE2=BC2-CE2,∴25-x2=(2)2-(5-x)2,解得x=3,即AE的长为3.类型4与圆周角有关的辅助线作法9.如图,点B,C,D在☉O上,若∠BCD=110°,则∠BOD的度数是()A.140°B.110°C.100°D.70°10.如图,在☉O中,半径OA与弦BD垂直,点C在☉O上,∠AOB=80°.(1)若点C在优弧BD上,则∠ACD的大小为;(2)若点C在劣弧BD上,则∠ACD的大小为.11.一题多解如图,在☉O中,弦AC⊥BD于点E,连接AB,CD,BC,OA,OB,OC,OD.(1)求证:∠AOB+∠COD=180°.(2)若AB=8,CD=6,求☉O的直径.解法二如图,延长BO交☉O于点F,连接DF,AD.∵BF是☉O的直径,∴∠BDF=90°,∴DF⊥BD.∵AC⊥BD,∴AC∥DF,∴∠CAD=∠ADF,∴=,∴∠COD=∠AOF.∵∠AOB+∠AOF=180°,∴∠AOB+∠COD=180°.(2)解:如图,连接AF.由(1)知=,∴AF=CD=6.∵BF是☉O的直径,∴∠BAF=90°,∴BF===10,∴☉O的直径为10.