课题几何模型之：角平分线和线段垂直平分线问题教学内容知识框架1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.【例题精讲】B针对性练习：例1、已知：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.课堂笔记：B针对性练习：如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.课堂练习：1.△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。2.如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。求证：MB=MC7、角平分线、平行线、等腰三角形综合：1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形：图甲如图甲：一直线与角的一边平行如图乙：一直线与角的平分线平行432ODECBA1图乙2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线a、如图甲：与一腰平行b、如图乙：与底边平行角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：321IEDABC例1、如图1：已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。13ABCDEI图（2）2例2、如图2：已知I是△ABC的内心，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。求证：△DIE的周长等于BC。4321FEDMCBA例3、如图3：已知在△ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF=BE—CF。例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC