1958年1月数学问题k31、设，n，k，a+1为三个正整数，不全为奇数。试将ain表成i0二整数的平方差。解：我们有k23k13123annkaini0222kkkna112k1a322k11naknakn1ak2222令第一因子为p-q。第二因子为p+q，得111kaankn1p22221kaankn1q2222因为，n，k，a+1不全为奇数，可知p和q为整数，而k3qpain22i0cba2.设a，b，c为三角形的三边，S22,abS。2试证：（1）S＜2a，S＜2b；（2）a＞c，b＞c。证（1）因为a，b，c为三角形三边，故a+c＞b，由此可知2S＞2b，即S＞b，因此S2＞Sb，即2ab＞Sb，故2a＞S；同理可得2b＞S。（2）由2a＞S及a+c＞b，我们有bbcba2a＞＞b22因此（2a-b）2＞0，两端加上8ab有（2a+b）2＞8ab。而8ab=4S2=（a+b+c）2，于是（2ab)2＞(abc)2故得2ab＞abc，即a＞c，同理可得b＞c。