编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第页共NUMPAGES11页第PAGE\*MERGEFORMAT11页共NUMPAGES\*MERGEFORMAT11页讲授内容备注第三十四讲§6.4隐函数存在定理对方程而言，隐函数存在定理是：满足；及在的某邻域内连续，则方程在的邻域里确定了唯一的隐函数.具体来说，即，及函数，满足：=1\*romani)；=2\*romanii)其中；=3\*romaniii)满足条件=1\*romani)、=2\*romanii)的函数是唯一的；=4\*romaniv)在内连续．若附加条件：在的邻域内连续，则存在，且．例1给定方程1)说明在点的充分小的邻域内，此方程确定唯一的、连续的函数，使得；2)讨论函数在附近的可微性；3)讨论函数在附近的升降性（单调性）；4)在点的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的单值函数，使得？为什么？解1)，；显然及在的邻域内连续，由隐函数存在定理，在点的某邻域内存在唯一隐函数，连续，．2)也在的邻域内连续，所以函数的导数存在，且3)为讨论在附近的升降性，考虑的符号，由得出，当充分接近时，的符号取决于分子的符号．，由知，（当时）于是的符号与的符号相同．时，，时，．可见，在处取（严格）极大．4)（用隐函数存在定理不能判定在的邻域内是否存在唯一的单值函数，使得，）由3)知，在处取（严格）极大，故在的充分小的邻域内，当时，至少有二个与对应．而当时，无与对应，使得．所以不能确定，使得．§6.5方向导数与梯度一、方向导数的计算1)利用定义函数在点处沿单位向量方向的方向导数定义为2)利用偏导数与方向导数的关系若在点处可微，则在点沿任意方向的方向导数存在，且3)利用梯度与方向导数的关系若在点处可微，则在点沿任意方向的方向导数存在，且其中表示与的夹角．例1设试证：在点沿任意方向的方向导数存在，但在处不可微．证取任意方向则于是可见在处沿任意方向的方向导数存在．不可微性是课本上的例题．例2证明：在处沿任意方向的方向导数为证若，，．总之，有．例3求在椭球面上的点处的外法线方向的导数．解法向量单位法向量其中．因此，．例4设是区间上的可微函数，在直角坐标平面内，其图像为曲线．若二元函数在包含曲线的某区域上连续可微（即具有连续的偏导数）．且在曲线上恒为0．求证：在曲线上任一给定点处沿该曲线切线方向的导数等于0．证设是曲线上任意点处的单位切向量，则可见只要找出，便得所证结果．由已知条件两边关于求导从而所以．例5设为中的两个线性无关的单位向量．函数在中可微．方向导数．试证：常数．证记，因为线性无关，上述方程组只有零解：．记，由微分中值定理故常数．二、梯度的计算梯度的计算（以为例），主要使用如下公式：其中为算符，分别表示轴上的单位向量．注：梯度是向量，因此其运算，要遵从向量的运算法则．例6设，，求证：．其中分别是径向与圆周方向的单位向量．（如图）证．在方向的投影：（方向的分量）在方向的投影：（方向的分量）按向量的分解原理：所以从而．例7设有方程(1)证明：(2)其中．证这是一个兼有梯度计算与隐函数求导的题目．(2)式变形为(3)问题转化为由方程(1)证明式(3)．方程(1)满足隐函数存在定理的条件，因此(1)式将定义为的函数．将(1)式对求导即(4)由轮换对称(5)(6)(4)，(5)，(6)平方后相加，约去两端的公因子，得(7)(4)+(5)+(6)，再由(1)得(8)联立(7)、(8)，解得．3学时注：定理的条件只是充分条件，而不是要条件．偏导数是两个特殊方向的方向导数梯度方向是函数变化最剧烈的方向，或个方向导数的最大值就是梯度的模书P100EX5外法线方向对一元函数若则注：本结论可推广到中．图