第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型2-1引言2.1.3数学模型的建模原则数学模型的建立方法：（1）分析法（2）实验法数学模型的建模原则：（1）建模之前,要全面了解系统的自然特征和运动机理,明确研究目的和准确性要求,选择合适的分析方法。（2）按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式。（3）根据允许的误差范围，进行准确性考虑然后建立尽量简化的、合理的数学模型。2.2.1列写微分方程式的一般步骤（1）分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。（2）做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。（3）根据支配系统动态特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。（4）列写各中间变量与其他变量的因果式。（5）联立上述方程，消去中间变量。（6）将方程式化成标准形。2.2.2机械系统举例例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。列写微分方程式时，一般按以下几点来写：（1）输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；（2）左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。（4）方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。2.3非线性数学模型的线性化一.复习拉氏变换及其性质1.定义2)微分定理若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且6)延迟定理L[x(t)1(t)]=esX(s)L[eatx(t)]=X(s+a)7)时标变换③部分分式法一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。j=0,1,…,r-13.举例例2-10的原函数x(t)。26的原函数x(t)。解：2.4.1.线性常系数微分方程的求解方程。初始条件：y(0)=1,y(0)=2解：设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。写出电路运动方程当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，得由此可见，对于一定的输入电压及初始条件，原函数uc(t)与其象函数Uc(s)之间有单值对应关系，它们以不同形式给出了RC电路的输出电压。这种单值对应关系奠定了在复数域内建立数学模型并用以研究电路特性的基础。上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比，是s的一个有理分式函数，它只与电路的结构形式及其参数有关，故可以作为在复数域内描述RC电路输入----输出关系的数学模型，称为传递函数，记作G(s)。2.4.2传递函数的定义求出传递函数为2.4.3传递函数的性质及微观结构1。传递函数的性质(a)传递函数是一种数模，与系统的微分方程相对应。(b)传递函数只适用于线性定常系统。(c)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系。(f)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）(g)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。并且所有的系数均为实数。(i)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。2。传递函数的微观结构一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此，传递函数的零、极点分布图也可表征系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是根轨迹法。3。零极点和传递系数对系统性能的影响比如系统的传递函数如下所示，求输入为r(t)=1(t)，研究此时运动规律。（1）极点决定系统固有运动属性。（2）极点的位置决定模态的敛散性，即决定稳定性、快速性。（3）零点决定运动模态的比重。（4）传递系统决定了系统稳态传递性能。