计算氢原子的基态波函数在处的比值。[解]：氢原子基态波函数为：该函数在两处的比较值为：而本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且，如果我们注意到在r的全部区间内随着r的增大而单调下降这个事实，计算结果的合理性也是显而易见的。[解]：（a）原子轨道能为：（b）轨道角动量为：轨道磁距为：（d）电子离核的平均距离的表达式为：(e)令,得：节面或节点通常不包括的节面只有一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分.（f)几率密度为：由式可见，若r相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦可令），以ρ0表示，即：又因：根据此式列出D-r数据表：作氢原子的图，证明极大值在处，并说明两种图形不同的原因。*从物理图象上来说，只能接近于0。根据表中数据作图如图2.9（a）和(b)所示。令得即处有极大值，这与称为H原子的最可几半径，亦常称为Bohr半径。推广之，核电荷为Z的单电子“原子”，1s态最可几半径为。写出Li2+离子的Schrodinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义；写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答：（a）1s电子径向分布最大值离核的距离；（b）1s电子离核的平均距离；（c）1s电子几率密度最大处离核的距离；（d）比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低；（e）Li原子的第一电离能（按Slater屏蔽常数算有效核电荷）。Li2+离子1s态的波函数为：（b）（c）已知He原子的第一电离能I1=24.59eV，试计算：（a）第二电离能；（b）基态能量；（c）在1s轨道中两个电子的互斥能；（d）屏蔽常数；（e）根据（d）所得结果求H-的能量。He+是单电子“原子”，可按单电子原子能级公式计算,因而：将（2）式代入，得：（c）用J(s,s)表示He原子中两个1s电子的互斥能，则：也可直接由I2减I1求算J(s,s)，两法本质相同。（d）（e）H-是核电荷为1的两电子“原子”，其基态为(1s)2，因而基态能量为：写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si；(b)Mn；(c)Br；(d)Nb；(e)Ni解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数S、角量子数L和总量子数J，进而写出最稳定的光谱支项。(c)Br：[Ar]4s23d104p5(d)Nb：[Kr]5s14d4(e)Ni：[Ar]4s23d8写出Na原子的基组态、F原子的基组态和碳原子的激发态（1s22s22p13p1）存在的光谱支项符号。[解]：Na原子的基组态为（1s）2(2s)2(2p)6(3s)1。其中1s、2s和2p三个电子层皆充满电子，它们对整个原子的轨道角动量和自旋角动量均无贡献。Na原子的轨道角动量和自旋角动量仅由3s电子决定；L=0，S=1/2,故光谱项为2S；J只能为1/2，故光谱支项为对C原子激发态(1s)2(2s)2(2p)1(3p)1，只考虑组态(2p)1(3p)1即可。2P和3P电子是不等价电子，因而(2p)1(3p)1组态不受Pauli原理限制，可按下述步骤推求其谱项：由。因此可得6个光谱项：3D，3P，3S，1D，1P，1S。根据自旋一轨道相互作用，每一光谱项又分裂为数目不等的光谱支项，例如，对3D光谱项，，S=1，L=2，S和L组合可得J=3，2，1，因而它分裂为3D3，3D2，3D13个支项。6个光谱项共分裂为10个光谱支项：3D3，3D2，3D1，3P2，3P1，3P0，3S1，1D2，1P1，1S0。基态Ni原子可能的电子组态为：（a）[Ar]3d84s2；(b)[Ar]3d94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3F4。式判断它是哪种组态。[解]：分别求出，两种电子组态能量最低的光谱支项，与实验结果对照，即可确定正确的电子组态。组态：。因此，能量最低的光谱支项为3F4，与光谱实验结果相同。组态：。因此，能量最低的光谱支项为3D3，与光谱实验结果不同。所以，基态Ni原子的电子组态为[Ar]3d84s2。