万方数据关于排序不等式的一个简单证明B。一o，B^一∑6"∑nt6t=∑口。iB。一B卜，)=∑抚≤∑6，帅B。=∑(6，斗l—cf)，s—s7=口。B。一∑(口蚪l一口。)B。=一∑(口蚪。一纵)B≤o．州∑㈦。∑㈦。∑州‰(E一旦r1)+口，l(B●1一毋2)+⋯+口lB—n。B。一∑(口抖l一口‘)BI．苏农，刘玲排序不等式的证明排序不等式可描述为如下定理．定理1(排序不等式)[136，≤62≤⋯≤玩，．是实数组(2)的一个排列，记似序积和y=口161+‘￡262十⋯+口。6。，S≤S7≤∥，且等式成立当且仅当该不等式在许多不等式的证明中有着广泛的应用．该不等式的证明有很多版本‘引，下面给出一种简单的方法．预备知识设(1)和(2)为任意两的研究．E眦illn．su@bistu．edu．cn；设实数组(2)满足(4)式，实数组(5)设实数组(2)满足(4)式，那么若存在1≤矗=m≤行使等号成立当且仅当口2(6，广l—cz)+⋯十n。(6l—c。)．则由Abel变换以及口；≤口斗。，得到(口蚪l一纵)B≥O，第14卷第l期利用Abel变换．给出排序不等式的证明，并对等号成立问题作了进一步的讨论．设有两组实数口1，n2，⋯，口。6l，62，⋯，6。满足口l≤口2≤⋯≤口。，另设(5)逆序积和S一口l玩+口26，l+⋯+口。61，乱序积和S7=口1cl+口2c2+⋯+口。c。，那么2⋯2口H或者6l=62=⋯=巩．引理1(Abel变换)[13组有序的实数组，令事实上，n。B。一(口。B，rl一口，广lB，广1)一(口rlB，r2一口，广2B，r2)一^·一(口2一口1)Bl=引理2是实数组(2)的任意一个排列，那么显然有引理36l一62一⋯一6。．首先，S—S7=nl(以一c1)+不妨设那么，由引理2，有BI≥O，B。=O，所以必≤2011年1月高等数学研究MATHEMATICS(北京信息科技大学理学院数学系，北京lOOl92)摘要关键词Abel变换}排序不等式；证明中圉分类号文献标识码文章编号(1)(2)(3)(4)f1，c2，⋯，厶2口21收稿日期：2007—08—22；修改日期：20lO一04—30．基金项目：北京信息科技大学教改项目；北京信息科技大学校科研基金(102521)．作者简介：苏农(1966一)．男，北京人，硕士。讲师，从事微分几何方面刘玲(1977一)，女。安徽金寨人，博士，讲师，从事微分几何方面的研究．Email：liul@bi5tu．cdu．cn．2B。=o，B吼一蚪|I6STUDIESINC()LLEGEV01．14．No．1Jan．，20ll()122．3A1008—1399(2011)Ol一0049一02i=五『口l，rl，广l、J，＼=t●‘一lI—lI七ltIf—lf=l，r—l上毒lnf#。万方数据最=∑(‰i—cf)=∑‰一∑白=o；∑(‰一cf)=∑‰一∑o=o，一∑(n抖．一口。)B：≤o。B二=∑(a一6f)=∑以一∑6f=o．∑6，斗。=Simple。∑川。∑ⅢAProoffortheOrderingInequality更进一步的问题当且仅当‘‘+，，⋯，c·蚪。为吒+-，⋯，6k。的排列(其同理，设B：一o，B：一则可证要使得等号成立，即存在1≤研≤刀一】，使得B二=O．从而由引理3得要使得不等式S≤S7中的等号成立，需要什么条件?因为所以那么也有下列两种情形：存在1≤，7l≤，l一1，使得的一个排列，从而为数组的一个排列．依次类推，可得以下定理．当且仅当‘k+1，⋯，。“。为6，r“，，⋯，6，广。一l的排列(其中O≤是≤秘一1)．设S7=yS7一∥一nl(cl一61)+n2(f2—62)+⋯+盘。(“一6。)一S=S7=∥。则对忌=1，2，⋯，，2—1，有(口蚪l一口I)B：=0．那么有下列两种情形：(I)口l=口2=⋯一n。．(Ⅱ)口l=口2=⋯=口m，口m<口m+l，这时必有6l=62=⋯=6。．(口蚪l一口I)B‘=O(愚=1，2，⋯，托一1)，(i)口l；口2=⋯一口。．(n)由于Bm=口1=42=⋯=口m，口州<：口斛l，B。一O．6l≤62≤⋯≤玩，‘l'C2’⋯，C“必可看作实数组6口一月，¨，6"一m+2，⋯，6Hfnr}l，fm+2，⋯’C。6l，62，⋯，6，r．。定理2nio+l=口l=⋯=口il<口i1+l=⋯=口‘<⋯<口ol+I5⋯。口。2口‘弹，那么同理有以下定理．定理3口屯+I=口l一⋯=口t<口j】+l一⋯=n电’<⋯‘<口f盯．1+l==⋯==口H=n‘矗，中O≤志≤m—1)．[1]啥代GH，李特伍德JE．波利亚G．不等式[M]．越民义。译．北京：科学出版社。1965；293—295．[2]沈燮昌．数学分析[M]．北京：高等教