解三角形专题一、基础知识：１、正弦定理:,其中为外接圆得半径正弦定理得主要作用就是方程与分式中得边角互化。其原则为关于边,或就是角得正弦值就是否具备齐次得特征。如果齐次则可直接进行边化角或就是角化边，否则不可行例如:（１)(２)(恒等式)(3)2、余弦定理:变式：(1)①此公式通过边得大小（角两边与对边)可以判断出就是钝角还就是锐角当时,,即为锐角;当(勾股定理)时,,即为直角;当时,,即为钝角②观察到分式为齐二次分式,所以已知得值或者均可求出（2)此公式在已知与时不需要计算出得值,进行整体代入即可3、三角形面积公式:(1)（为三角形得底,为对应得高)(２)(3)（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径)（４)海伦公式:（５)向量方法:(其中为边所构成得向量,方向任意)证明:,而坐标表示:,则4、三角形内角与（两角可表示另一角)。5、确定三角形要素得条件:(1)唯一确定得三角形:①已知三边(SSS)：可利用余弦定理求出剩余得三个角②已知两边及夹角（SAＳ):可利用余弦定理求出第三边,进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角③两角及一边(AAS或AＳA)：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边(２)不唯一确定得三角形①已知三个角(AAＡ):由相似三角形可知,三个角对应相等得三角形有无数多个。由正弦定理可得:已知三个角只能求出三边得比例:②已知两边及一边得对角(SSA）:比如已知,所确定得三角形有可能唯一,也有可能就是两个。其原因在于当使用正弦定理求时,，而时,一个可能对应两个角(1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。(判定就是否唯一可利用三角形大角对大边得特点，具体可参考例1）6、解三角形得常用方法:(1)直接法:观察题目中所给得三角形要素,使用正余弦定理求解(2)间接法：可以根据所求变量得个数,利用正余弦定理,面积公式等建立方程,再进行求解７、三角形得中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理:如图,设为得一条中线,则(知三求一)证明:在中①②为中点①②可得：(2)角平分线定理:如图,设为中得角平分线,则证明:过作∥交于为得角平分线为等腰三角形而由可得：二、典型例题:例1:(１)得内角所对得边分别为,若,则____＿(2)）得内角所对得边分别为，若,则____＿思路:(1)由已知求可联想到使用正弦定理：代入可解得：。由可得：,所以答案:(2)由已知求可联想到使用正弦定理:代入可解得:,则或,由可得:,所以与均满足条件答案:或小炼有话说:对比(１)(2)可发现对于两边及一边得对角，满足条件得三角形可能唯一确定，也有可能两种情况,在判断时可根据“大边对大角”得原则,利用边得大小关系判断出角之间得大小关系,判定出所求角就是否可能存在钝角得情况。进而确定就是一个解还就是两个解。例2:在中,,若得面积等于,则边长为__＿_____＿思路:通过条件可想到利用面积与求出另一条边,再利用余弦定理求出即可解:答案：例3:(２012课标全国)已知分别为三个内角得对边,且有(1)求(2)若,且得面积为,求(1)思路：从等式入手,观察每一项关于齐次,考虑利用正弦定理边化角：,所涉及式子与关联较大,从而考虑换掉，展开化简后即可求出解:即或(舍)(2)思路:由（１）可得，再由,可想到利用面积与关于得余弦定理可列出得两个方程，解出即可解：可解得小炼有话说:通过第(1)问可以瞧出,在遇到关于边角得方程时,可观察边与角正弦中就是否具备齐次得特点,以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时,通常要从所给项中联想到相关两角与差得正余弦公式,然后选择要消去得角例４:如图,在中,就是边上得点,且,则得值为______＿_＿_＿思路:求得值考虑把放入到三角形中,可选得三角形有与,在中,已知条件有两边,但就是缺少一个角（或者边）,瞧能否通过其它三角形求出所需要素,在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出,从而中已知两边一角，可解出解:由可设则在中,在中,由正弦定理可得:小炼有话说:(1)在图形中求边或角,要把边与角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多得，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。(2)本题中给出了关于边得比例,通常对于比例式可考虑引入一个字母(例如本题中得)，这样可以将比例转化为边得具体数值,便于计算例５：已知中,分别就是角所对边得边长,若得面积为，且,则等于＿____＿＿____思路:由已知可联想到余弦定理关于得内容,而,所以可以得到一个关于得式子,进而求出解:而代入可得：答案:例6:在