第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系双基研习·面对高考2．空间点、线、面之间的位置关系3．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：_______思考感悟1．如果两条直线没有任何公共点，则两条直线为异面直线，此说法正确吗？提示：不正确．如果两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面．(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线__________．4．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角______________．思考感悟2．本定理中，这两个角何时相等，何时互补？提示：当这两个角的两边方向相同或方向相反时相等，否则互补．3．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案：C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1所成的角为__________．答案：45°5．三条直线两两相交，可以确定__________个平面．答案：1或3考点探究·挑战高考正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BC1D交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．【证明】如图所示，A1A∥C1C，则A1A与C1C可确定平面A1C.互动探究1在本例中，若E、F分别为D1C1、B1C1的中点，A1C1∩EF＝Q，AC∩BD＝P，A1C∩面EFBD＝R，试探究P、Q、R三点是否共线．解：在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．【思路分析】先证E、F、G、H四点共面，再证EF、GH交于一点，然后证明这一点在AC上．∴由公理4知，EH∥FG，且EH<FG.∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底．∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC，∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三直线交于一点．【思维总结】证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点，然后再证明这一点在第三条直线上，而证明后者，往往是利用这点在两个平面的交线上．证明若干条线(或若干个点)共面，一般来说有两种途径：一是首先由题目条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合．本类题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：D1、E、F、B共面．【思路分析】连结D1E、D1F→D1E与DA相交，D1F与DC相交→证明两交点与B共线．【证明】∵D1、E、F三点不共线，∴D1、E、F三点确定一平面α，又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行，故分别延长D1E、DA相交于G，则G∈直线D1E⊂平面α，∴G∈α.同理，设直线D1F与DC的延长线交于点H，则H∈平面α.又∵点G、B、H均属于平面AC，且由题设条件知E为AA1的中点且AE∥DD1，从而AG＝AD＝AB，∴△AGB为等腰直角三角形，∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°，又∵∠ABC＝90°，从而点B∈α，∴D1、E、F、B共面．【名师点评】题中是先说明D1、E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．判定两条直线是否异面，可依据定义来进行，还可依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)进行．反证法是证明两直线异面的有效方法．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由；(3)