向量与线性方程组的求解未知量，系数，常数项，注意s不一定等于n.所谓方程组的一个解就是指由n个数k1,k2,…,kn组成的有序数组(k1,k2,…,kn),当x1,x2,…,xn分别用k1,k2,…,kn代入后，使得方程组中的每个方程都成立。方程组的解的全体称为它的解集合。解方程组就是要找出方程组的全部解，即求出它的解集合。这将面临如下问题：1)能否判定方程组是否有解？2)若有解，能否找到一个解？解是否惟一？若不惟一，如何处理(表示)？二高斯消元法与线性方程组的初等变换例：解线性方程组上述方程组是包含4个未知数3个有效方程的方程组，除x4=-3外，在x1,x2,x3中有一个自由未知数，由于方程组呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知数，即x1,x2,x4选为非自由未知数，剩下的x3选为自由未知数。这样，只需用“回代”的方法便能求出方程组的解，按上述方式求线性方程组称为高斯消元法。在高斯消元过程中，始终把方程组看作一个整体，反复地对方程组进行各种变换，最后将方程组化成一个相对简单易解的呈现为阶梯形式的线性方程组。这样做需要注意两个问题，其一是作了哪些变换；其二是这种变换能否保证变换后的方程组与变换前的方程组同解。在高斯消元过程中，只用到了以下三种基本变换：1)用一非零数乘以某一方程；2)把一方程的倍数加到另一个方程；互换两个方程的位置。上述三种变换能将线性方程组化成阶梯形式，且是同解变换，因此称(定义)上述三种变换为线性方程组的初等变换。定理：线性方程组的初等变换是同解变换，即总是把方程组变成同解的方程组。证明：显然交换两个方程后两个方程组的解是一样的。把某个方程的两端都乘以一个非0的数，方程组的解也不变。下证把某个方程的倍数加到另一个方程上，解也不变。对方程组，把第二式的两边乘以k，再与第一式相加，即为高斯消元法步骤归纳：1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组；2）把最后的一些恒等式“0=0”（若有的话）去掉。3）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，如“0=3”的形式，则方程组无解；否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r满足r=n，则方程组有惟一的解；否则，即有r<n，此时方程组有无穷多个解。用高斯消元法解方程组线性方程组的矩阵表示及解判定定理线性方程组的矩阵形式表示则称B为线性方程组的增广矩阵。显然增广矩阵可完全确定方程组。对方程组的高斯消元过程也完全可以转换为对矩阵B的初等行变换。利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时解是否惟一等问题。线性方程组解判定定理：对n元线性方程组Ax=b,(i)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);(ii)有惟一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n。证明：设R(A)=r。为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形为以上证明了结论的充分性。必要性也是自然的。因为若方程无解，必有R(A)<R(A,b)，否则有R(A)=R(A,b)，则由(ii),(iii)的充分性，知方程组有解，矛盾；(ii)若方程有惟一解，则R(A)=R(A,b)，且若R(A)<n，由(iii)的充分性知方程组应有无穷多解，故此必有R(A)=R(A,b)=n；(iii)若方程有无穷多解，首先R(A)=R(A,b),又若R(A)=n，则由(ii)的充分性得方程组有惟一解，矛盾，从而R(A)=R(A,b)<n.证毕。当R(A)=R(B)=r<n时，上式可表示化简后方程组的任一解，从而也可表示原线性方程组的任一解，故此解称为线性方程组的通解。增广矩阵的最简形与通解的关系：上述定理的证明过程给出了解线性方程组的一般步骤：(a)对于非齐次线性方程组(i)把它的增广矩阵B化成行阶梯形，从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)。若R(A)<R(B)，则方程组无解。(ii)否则R(A)=R(B)，方程组有解。进一步把B化成行最简形。若R(A)=R(B)=n,则B的最后一列即为方程组的惟一解。(iii)若R(A)=R(B)=r<n，把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1,c2,…,cn-r，由B的行最简形，即可写出含n-r个参数的通解。(b)对于齐次线性方程组…例：解方程组例：解由增广矩阵B表示的线性方程组，其中从而通解为解：1)定理：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)。定理：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n。四一般矩阵方程的解的判定定理例：设例：求解