矩阵一常见问题与矩阵关系1线性方程组与矩阵2线性变换与矩阵3二次曲线与矩阵运算建立矩阵间的关系。二加法两个同型矩阵A=(aij)mn，与B=(bij)mn可定义加法如下存在加法零元(零矩阵)：A+0=0+A=A；若设矩阵A=(aij)，则称矩阵(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A。存在负元(负矩阵)：A+(-A)=0.并由此规定矩阵的减法运算为A–B=A+(-B).三数与矩阵相乘(数量乘法)四矩阵与矩阵的乘法例：已知矩阵A，B求AB。矩阵乘法定义合理性的考察考察1：能否为问题提供简单的表示形式？如前所述，我们说可以用矩阵来表示线性方程组、线性变换及二次曲线，但对这种“可以”‘能否提供足够简单的表示形式予以支持，仅“可以”但表示形式复杂也是没有生命力的。1）线性方程组的矩阵表示2）线性变换的矩阵表示3）二次曲线的矩阵表示考察2：有否简单的运算形式(运算律)好的运算定义应有好的运算律的支持。由于双重连加号可以交换次序，所以两个结果是一样的，这就证明了结合律。矩阵乘法运算对数乘及加法运算还有如下算律：考察3：应用上的支持1）线性变换的合成＝2）行列式的乘法定理对同阶方阵A,B，有|AB|=|A||B|.证明：若AB=C,由拉普拉斯定理，有|AB|=|C|=|A||B|.矩阵乘法合理性考察说明了这种定义形式的合理性。它有广泛的现实基础，有简单的形式及方便的运算律，这使得矩阵成为代数学研究中的一种重要工具。本例说明，矩阵相乘一般不满足交换律，即AB≠BA；由于矩阵的乘法不适合交换律，从而矩阵对加法有:左分配律右分配律且两条分配律不能互相代替。本例还指出两个非零矩阵相乘结果有可能为零矩阵，这与我们通常数的乘法是不一样的，在数的乘法中，两个数相乘=0，则必有一个数为0；但在矩阵乘法运算中，若AB=0，不一定有A=0或B=0。从而在矩阵乘法运算不满足消去律。即若若矩阵A,B满足AB=BA，则称A,B是可交换的。显然可交换的矩阵一定是同阶方阵。数量矩阵与同阶方阵可交换。由于例：证明上(下)三角矩阵的乘积仍为上(下)三角矩阵。五方阵的方幂与矩阵多项式基于矩阵乘法可以定义方阵A的方幂：例：设为一元多项式，A为n阶方阵，记六矩阵的转置矩阵的转置适合以下的算律：例：A,B是两个n阶对称阵，证明：乘积AB对称的充分必要条件为A与B可交换，即AB=BA。七方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。定义：由方阵A的行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。性质1：对伴随矩阵有等式AA*=A*A=|A|E.特别地，当|A|≠0时，有性质2：证明：由AA*=A*A=|A|E，可得