章末培优专练1.如图,AD,BC是☉O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿OCDO的路线匀速运动,设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间x(单位:秒)之间的函数关系图象大致是()2.[利用圆的基本性质构造全等三角形求长度]如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为的中点,则AC的长是.2.【解析】如图,过点C分别作CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD于点F,则∠E=∠CFD=∠CFA=90°.∵点C为的中点,∴=,∴∠BAC=∠DAC,BC=CD,又∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.由A,B,C,D四点共圆,易得∠D=∠CBE.在△CBE和△CDF中,∵∴△CBE≌△CDF,∴BE=DF.在△AEC和△AFC中,∵∴△AEC≌△AFC,∴AE=AF.设BE=DF=x,∵AB=3,∴AE=AF=x+3,又∵AD=5,∴5=x+3+x,解得x=1,则AE=4.∵∠BAD=60°,∴∠EAC=30°,∴AC=2CE,又∵AC2=CE2+AE2,∴AC=.3.如图,☉A的圆心A在反比例函数y=(x>0)的图象上,且与x轴、y轴分别相切于点B,C.一次函数y=x+b的图象经过点C,且与x轴交于点D,与☉A的另一个交点为点E.(1)求b的值及点D的坐标;(2)求CE的长及∠CBE的大小;(3)若将☉A沿y轴上下平移,使其与y轴及直线y=x+b均相切,求平移的方向及平移的距离.3.【解析】(1)如图,连接AC,AB,易得四边形OBAC是正方形,故设A(a,a),将A(a,a)代入y=(x>0)中,得a=,∴C点的坐标为(0,),将C(0,)代入y=x+b中,得b=,∴y=x+,当y=0时,x=-3,故D点的坐标为(-3,0).(2)如图,连接AE,由(1)知D点的坐标为(-3,0),∴OD=3,又∵OC=,∴∠BDE=30°.∵AC∥x轴,∴∠ACE=∠BDE=30°,又∵AC=AE,∴∠CAE=120°,∴CE=3,∠CBE=∠CAE=60°.(3)如图,①当将☉A沿y轴向上平移使得点A平移至点A1处时,☉A与y轴及直线y=x+b均相切,此时平移的距离为3;②将☉A沿y轴向下平移使得点A平移至点A2处时,☉A与y轴及直线y=x+b均相切,此时平移的距离为1.4.[圆内接非正多边形的面积]数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题:如图1,☉O的内接六边形各边长度依次为3,3,3,5,5,5,求此六边形的面积.(1)小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理,先将六边形按图2的方式进行分割,再按图3的方式重组,则该六边形的面积等于.(2)类比探究:如图3,☉O的内接八边形各边长度依次为2,2,2,2,3,3,3,3,请你仿照小森的方法,求出这个八边形的面积.4.【解析】(1)如图1,六边形ABCDEF为轴对称图形,每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合,易知△MNQ,△MAF,△NBC和△QDE都是等边三角形,∴NQ=3+5+3=11,∴△MNQ的高为,∴六边形ABCDEF的面积等于S△MNQ-3S△AMF=××11-3××32=.(2)如图2,八边形ABCDEFGH为轴对称图形,每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合,易知四边形PQMN为正方形,△PAB,△QCD,△MEF,△NHG都是等腰直角三角形,∴PA=AB=,PN=+3+=3+2,∴这个八边形的面积等于S正方形PQMN-4S△PAB=(3+2)2-4×××=9+12+8-4=13+12.1.[2021江苏常州中考]如图,BC是☉O的直径,AB是☉O的弦,若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°2.[2021广东中考]如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则☉O的直径为()A.B.2C.1D.23.[2021海南中考]四边形ABCD是☉O的内接四边形,BE是☉O的直径,连接AE,如图.若∠BCD=2∠BAD,则∠DAE的度数是()A.30°B.35°C.45°D.60°4.[2021山西中考]如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,得,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为()A.2πB.4πC.πD.π5.[2021湖北武汉中考]如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,先将沿BC翻折交AB于点D,再将沿AB翻折交BC于点E.若=,设∠ABC=α,则α所在的范围是()A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°