第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限学而不思则罔，思而不学则殆。-----孔子《论语·为政》历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。-----培根本章简介在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解，同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申，而集合的具体知识不再述及。§1极限、实数与集合在微积分中的作用提出问题数学史中有所谓的第二次数学危机，它与微积分有什么关系呢？现在来开始研究这一问题。学习过程1.无限与三次数学危机虽然我们不能绝对地断言:无限必定带来数学危机．但是，数学史上的三次数学危机，都是与无限相关的．所谓数学危机，是指那些威胁到整个数学基础的矛盾．数学史上的第一次危机是由于不可通约量的出现．当时的数学建立在自然数基础上，但出现了自然数不能表示的量，这当然就动摇了当时的数学基础．尽管无理数慢慢被人们所接受，但如我们所知，从理论上解决问题是很晚很晚以后的事．所以可以说，这场危机是与涉及无限的无理数相关联的．第二次数学危机发生在微积分建立的开初阶段，即牛顿之后的时期．牛顿的微分是这样计算的，以对求微分为例来加以说明．这样就得到了的微商等于2x．这个结果无疑是正确的．但是，这个运算过程中包含了矛盾，上面有两个等号，前一个等号成立表明0，然而后一个等号表明．英国大主教贝克莱紧紧抓住这一矛盾，在1734年写了一本书叫《分析学者》，攻击牛顿的流数，说它是“失去了的灵魂”．而流数，实际上也可称为一个实无穷小量，它是整个分析学的基础．这就导致了数学史上的第二次数学危机．第三次数学危机与集合论的产生密切相关，涉及的主要是无限．1873年末，康拓首创集合论，但遭反对．到1897年，集合论才被应用于数学，尤其是应用于数学分析之中，这时集合论才成为现代数学的基础．到19世纪后半叶，集合论不仅建立起来，而且被越来越多的数学家所接受、所应用．但是1903年罗素(B.Russell)提出的悖论引起了数学界的震动，造成了又一场极为深刻的数学基础危机．罗素悖论只涉及集合论的几个最基本的概念，如元素，集合，属于等．我们把元素s属于集合X记为sX．元素构成集合，有些集合又可作为元素而属于新构成的集合．甚至有的集合本身又是自己的元素．当然有本身不属于自己的集合，例如以自然数为元素作成的集合N，因为它本身不是数，那么它本身也就不属于它自己，即NÏN．现在考虑所有那些自身不属于自身的集合(以它们为元素)作成一个集合A．于是有两种可能：若,则根据A的定义，；若，则根据A的定义，.于是我们看到：无论何种情况下都导致矛盾．罗素得出的矛盾是如此简单明了，而集合论的基础地位已十分显赫，因此产生了极大的震动．数学界陷入一片深刻的危机之中！2.微积分的理论基础是什么？微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积分的理论基础．3.极限的理论基础是什么？极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通．譬如，由的不足近似值构成的有理数序列1，1．4，1．41，1．414，1．4142，…若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极限就是．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础．4.实数的理论基础是什么？在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础．5.自然数的基础是什么？数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基石．6.数学发展的动力是什么？通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量．17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量