经济应用基础（一）微积分课程教案授课类型_多媒体与板书结合.__授课时间45分钟授课题目：极限教学目的：掌握数列极限的概念，理解收敛极限的性质.掌握函数极限的概念，理解函数极限的性质。教学重点：数列极限的概念.函数极限的概念。教学基本内容：一、数列的概念先看一个具体的例子．我国古代的数学家认为：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是说：一尺长的木棒，第一天去掉一半，还剩尺；第二天去掉剩下的一半，还剩尺；……，第天去掉前一天剩下的一半，还剩尺．这一过程可以不断进行下去，剩下的长度总不会为0．在这里，每天剩下的木棒长度(单位：尺)依次为：，，…，，…(1)每一天()对应一个长度．定义1一个定义在正整数集合上的函数(整标函数)，当自变量按自然数1，2，3，…依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成…，，…称为一个无穷数列，简称数列．其中称为数列的项数，数列的每一个数称为数列的一个项，称为数列的一般项或通项，用表示．因而常将数列记为或数列．例如，(1)式表示一个数列．下面再举几个数列的例子：例1，即…(2)例2，即…(3)例3，即…(4)二、数列的极限以横轴表示项数，纵轴表示数列每项的值，将数列(1)－(4)依次作图如下：(1)(2)(3)(4)图1-15从图1-15容易看出，随着项数的无限增大，数列(1)的通项值趋于0；数列(2)的通项值趋于1；数列(3)的通项值随项数的增大而无穷地增大，要多大就有多大；数列(4)则摆动于0与1这两个数之间，不趋于某一数值．我们再来看一个具体的例子．设有半径为的圆，作其外切正边形，为其一边(图1－16)．则的面积为，故该正边形的面积为，(＝3，4，…)．图1-16这里是一个数列．显然，当正边形的边数无穷地增大时，该多边形的面积趋向于圆的面积．也就是说，当无穷增大时，数列的通项将趋向于．通过以上分析，我们给出下述一般性定义：定义2对于数列，如果当无限增大时，趋于某一定数，则称数列当时以为极限．记作或，．所谓“当无限增大时，趋于”，是指：当充分大时，与将充分靠近，要多近就有多近．也就是说：当充分大时，会充分小，要多小就有多小．当一个数列有极限时，我们称该数列收敛．数列以为极限，则称收敛于．反之，若一个数列没有极限，则称该数列发散．根据定义2与对数列(1)~(4)的分析，有．．而与均不存在(常记)．三、收敛数列的性质由极限定义易知，数列若有极限，则其极限必唯一．定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。定理2（收敛数列的有界性）收敛数列一定有界。注：有界数列不一定收敛。定理3（收敛数列的保号性）如果，且（或），那么存在正整数，当时，都有（或）。在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列。定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛于。由定理4可知，如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列是发散的。四、函数极限的定义1．自变量趋于有限（）时函数的极限当变量趋于某定点时，记作．一般地，当时，规定．考察当时，函数的变化情况．因为当=1时，函数没有定义，而当时，．故的图形如图3－1所示．显然，当()时，的值无限接近于2．图3－1定义1设函数在点的某邻域有定义(可除外)，如果当时，对应的函数值无限接近于一个常数，则称为函数当时的极限，记为或(1)这里所说的“无限接近于”，是指当与充分靠近时，的值与要多接近，有多接近；换言之：只要充分小，可以要多小有多小．例如，由图3－1可知：．注意由定义1可以看出，函数在点的极限与在处是否有定义无关．上面的例子也说明了这一点．2．单侧极限在定义1中是指以任意方式趋于．而趋于有两个方向：左侧或右侧．我们有时需要考虑仅从的一侧趋于时函数的变化趋势．例如，考虑函数当时的极限，我们只能考虑从0的左侧()趋于0时的函数极限．一般地，若从的左侧趋于(记作)时，以为极限，则称为在的左极限，记为．(2)类似地，若当从右侧趋于(记作)时，以为极限，则称为在的右极限，记为．(3)例如，对于图3－2所示的分段函数由图可知，在处的左右极限分别为，．由单侧极限的定义，显然有图3-2定理1的充要条件是在的左极限与右极限都存在且均等于．请大家记住下面几个常用的极限(同学们可用图形说明它们的正确性)：(常数)；；；；；．3．当自变量趋于无限大（）时函数的极限若且沿轴正向趋于，则称趋于正无穷大，记为；若且沿轴负向趋于，则称趋于负无穷大，记为；若，则称趋于无穷大，记为．图3-3考虑函数，其图形如图3－