第九章FIR数字滤波器的设计有限长单位脉冲响应滤波器的特点:线性相位滤波.§1.线性相位FIR数字滤波器,特点1.线性相位FIRDF含义设滤波器的脉冲响应为h(n),长为N.则H(ejω)=∑h(n)ejω,n=0N1再表成H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)其中Hg(ω)(可正负,≠|H(ejω)|≥0)称为幅度特性函数,θ(ω)称为相位特性函数.注:不是H(ejω)=H(ejω)ejarg[H(e如x(n)=R4(n)的jω)]sin(2ω)sin(ω/2)sin(2ω)3它的Hg(ω)为,θ(ω)为ω.sin(ω/2)2X(ejω)=ejω3/2若θ(ω)=ωτ,τ是与采样点数N有关的常数,则称滤波器是线性相位的.系统的群时延定义为:τ(ω)=dθ(ω)/dω.对线性相位滤波器,群时延是常数.2.线性相位的条件(1)h(n)的特点设滤波器是线性相位的,则应有H(ejω)=∑h(n)ejωn=Hg(ω)ejωτn=0N1即∑h(n)(cosωnjsinωn)=Hn=0N1g(ω)(cosωτjsinωτ)从而有Hg(ω)cosωτ=∑h(n)cosωnHg(ω)sinωτ=∑h(n)sinωnn=0n=0N1N1上面二式相除且整理为∑h(n)cosωnsinωτ=∑h(n)sinωncosωτn=0n=0N1N1移项化简为∑h(n)sinω(nτ)=0n=0N1求得一种情形:当h(n)sinω(nτ)关于τ=N1奇对称时,上式为零.2h(n)是偶对称的.即满足h(n)=h(N1n),0≤n≤N1.此时θ(ω)=ω(N1)/2.在h(n)偶对称的条件下,再分N=130.20.10-0.10612和0.20.10-0.10N=125611(2)Hg(ω)的特?数学推导见参考文献[1],下面只给出结论.当N是奇数时,N1Hg(ω)=h+2当N是偶数时,Hg(ω)=(N1)/2(N1)/2∑n=1N12hncosωn21N12hncosωn22n=1所以在h(n)偶对称的条件下,滤波器有两种形式∑110.50.5000.50-0.5-1N=1311.5200.5N=1211.52(对N=13,是低通滤波器,可转换成高通,带通,带阻滤波器)(对N=12也是低通滤波器,但不可转换成高通,带阻滤波器).(3)零点分布特点(h(n)偶对称)N1n=0N1n=0H(z)=∑h(n)zn=∑h(N1n)zn=∑h(m)z(N1m)=z(N1)H(z1)m=0N1由此可得,对zk≠0,若H(zk)=0,则H(zk1)=0.由h(n)是实数列,得H(z)是实系数的,所以,有三种情形的零点.例如hn=[13531];zplane(hn,1);10.50-0.5-1-1014(4)极点均在z=0,且为N1阶的,系统必稳定.因为H(z)=[h(0)zN1++h(N1)]/zN1.(5)网络结构特点由h(n)对n=(N1)/2的对称性,推得当N为偶数时,H(z)=当N为奇数时,N/21n=0∑h(n)[zn+z(N1n)]N1∑h(n)[zn+z(N1n)]+h2zn=0例如当N=4时,H(z)=H(z)=∑h(n)[zn+z(3n)]n=01(N1)/21N12=h(0)[1+z3]+h(1)[z1+z2].可有如下网络结构.x(n)h(0)z1z1h(1)z1x(n)h(0)z1h(1)z1h(2)z1h(3)y(n)y(n)直接型省了2个乘法器当N=5时,情形类似,见书P185.§2用窗函数设计FIR数字滤波器线性相位的FIR时域要求是h(n)对称性.本节讨论如何在幅频特性上逼近期望滤波器.以低通为例.设Hd(ejω),则hd(n)=12π∫πH(e-πjω)ejωndωHd(ejω)一般为片断函数,故hd(n)无限长,需处理.1.基本方法(1)提出希望频率响应函数线性相位,具有片断特点,即ejωτHd(ejω)=0(2)算出|ω|≤ωcωc<|ω|≤ππ|Hd(ejω)|10.25πO0.25ππωhd(n)=0.31πjωjωn∫-πH(e)edω0.22π0.11ωcjωτjωn=∫ωceedω02π-0.1sin(ωc(nτ))(无限长)0=π(nτ)102030(3)加窗