竖直面内的圆周运动【方法归纳】只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点速度不为零。例39.（2010重庆理综）晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如题图1所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2。问绳能承受的最大拉力多大？改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？设绳能承受的拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力。球做圆周运动的半径为R=3d/4对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg=mv12/R，联立解得T=mg。设绳长为L，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有T-mg=mv32/L解得v3=。绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L，水平位移为x，飞行时间为t1，根据平抛运动规律有d-L=gt12，x=v3t1联立解得x=4.当L=d/2时，x有极大值，最大水平距离为xmax=d.【点评】此题将竖直面内的圆周运动和平抛运动有机结合，涉及的知识点由平抛运动规律、牛顿运动定律、机械能守恒定律、极值问题等，考查综合运用知识能力。衍生题1．（2012黄冈期中测试）滑板运动已成为青少年所喜爱的一种体育运动，如图所示，某同学正在进行滑板运动。图中AB段路面是水平的，BCD是一段半径R=20m的拱起的圆弧路面，圆弧的最高点C比AB段路面高出h=1．25m。已知人与滑板的总质量为M=60kg。该同学自A点由静止开始运动，在AB路段他单腿用力蹬地，到达B点前停止蹬地，然后冲上圆弧路段，结果到达C点时恰好对地面压力为零，不计滑板与各路段之间的摩擦力及经过B点时的能量损失（g取10m/s2）。求（1）该同学到达C点时的速度．（2）该同学在AB段所做的功．【解析】：（1）该同学通过C点时有代入数据得（2）人和滑板从A点运动到C的过程中，根据动能定理有代入数据解得W=6750J。【点评】物体通过圆周最高点，恰好对地面压力为零，说明重力提供向心力。衍生题2.如图所示，一质量为M=5.0kg的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h=0.8m，其右侧足够远处有一固定障碍物A。另一质量为m=2.0kg可视为质点的滑块，以v0=8m/s的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5N的恒力F。当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止。此时车去恒力F。当平板车碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）平板车的长度。（2）障碍物A与圆弧左端B的水平距离。（3）滑块运动圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小。【解析】（1）滑块与平板车间的滑动摩擦力f=μmg，对滑块，由牛顿第二定律得a1=f/m=μg=5m/s2；对平板车，由牛顿第二定律得a2=(F+f)/M=3m/s2；设经过时间t1，滑块与平板车相对静止，共同速度为v，则v=v0-a1t1=a2t2解得t1=1s（1分）v=3m/s（2）设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时间为t2则h=gt22，xAB=vt2，障碍物A与圆弧左端B的水平距离xAB=1.2m。（3）对小物块，从离开平板车到C点，由动能定理得在C点由牛顿第二定律得FN-mg=m联立得FN=86N由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为86N【点评】此题考查牛顿运动定律、平抛运动、动能定理、竖直面内的圆周运动等知识点。衍生题3.（2007年全国理综2第23题）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。【解析】：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守