习题课3竖直面内运动的两种模型和临界问题题型一竖直面内圆周运动的轻绳和轻杆模型轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点v2的临界条由mg＝m得v＝grv＝0r临临件(1)当v＝0时，F＝mg，F为支持(1)能过最高点时，v≥gr，NN力，沿半径背离圆心v2F＋mg＝m，绳、轨道对球Nr(2)当0<v<gr时，－FN＋mg＝产生弹力Fv2Nm，F背离圆心，随v的增大而rN讨论分析(2)不能过最高点时，v<gr，减小在到达最高点前小球已经脱离(3)当v＝gr时，F＝0了圆轨道，如图所示Nv2(4)当v>gr时，F＋mg＝m，FNrN指向圆心并随v的增大而增大(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力[解析]小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝gl，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。[答案]CD(2021·哈尔滨六中高一期中)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的距离。[解析]两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们做平抛运动的水平位移之差。v2对A球：3mg＋mg＝mA，v＝4gRRAv21对B球：mg－0.75mg＝mB，v＝gRRB44R4Rs＝vt＝v＝4R，s＝vt＝v＝RAAAgBBBg所以sA－sB＝3R。[答案]3R[针对训练1](多选)(2021·甘肃靖远二中高一期中)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则()aRA．小球的质量为bRB．当地的重力加速度大小为bC．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等解析：选AD。在最高点，若v＝0，则N＝mg＝a；若N＝0，由题图知：v2＝b，则有mg＝mv2bbaR＝mR，解得g＝R，m＝bR，故A正确，B错误；由题图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则N＋mg＝mv22bR＝mR，解得N＝mg，即小球受到的弹力与重力大小相等，故D正确。[针对训练2](多选)(2021·乌鲁木齐四中高一期中)在图示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则()A．在最高点A，小球受重力和向心力B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力C．在最高点A，小球的速度为gRD．在最高点A，小球的向心加速度为2g解析：选BD。小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝mav2＝m，又F＝mg，所以a＝2g，v＝2gR，B、D正确。RN题型二水平圆周运动中的临界问题1．与摩擦力有关的临界问题(1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，mv2如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。fr(2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。2．与弹力有关的临界问题：压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。3．解题思路(1)要