两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略黄石三中郝海滨影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。本文以实例说明具体的求解方法，供读者参考。动函数定区间1.抛物线的开口方向影响二次函数的最值例1.已知二次函数在上有最大值4，求实数的值。解：因为有固定的对称轴，且（1）若时，则即∴（2）若时，则即∴综上可知：或2.抛物线的对称轴影响二次函数的最值例2.已知二次函数在上有最大值2，求的值。解：分析：对称轴与区间的相应位置分三种情况讨论：（1）当时，∴（2）当时，即无解；（3）当时，∴综上可知：或例3.已知二次函数在上有最小值，求实数的值。解：分析：对称轴与区间的中点相对位置分两种情况讨论。（1）当时，∴（2）当时，∴综上可知：或例4.设是正数，，若的最大值是，试求的表达式。分析：将代数式表示为一个字母，由解出y后代入、消元，建立关于χ的二次方程，仍看成求动函数定区间的最值问题。解：设将代入消去y得∵∴而∴（1）当即或时（2）当即时（3）当即时综上可知：二.定函数动区间1.区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值,例5.已知二次函数当上有最小值，试求的解析式。解：分析：区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论（1）当即时，（2）当即时，（3）当时，综上可知：例6.已知二次函数，当上的最大值为，试求的解析式。解：分析：只要对区间中点是在对称轴的左侧还是右侧进行讨论就可以了。（1）当，即时，（2）当，即时，综上可知：2.区间的长度不变，影响二次函数的最值例7.已知二次函数在上有最大值7，求实数的值。解：分析：分区间包含对称轴或不包含对称轴为两种情况讨论。（1）当且即时∴（2）当且即时∴综上可知：或用导数法求“双二次函数”的单调区间更简单有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法.下面对两种解法作一比较.例，则在A．上递减B．上递减C．上递增D．(0,2)上递增解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法思路点拨容易知道在上递增，在上递减，为讨论在及上的单调性，必须先解不等式：得，得或.当时，，递减；又在上递增，在上递减，故在上递减，在上递增；当或时，，递增，又在上递增，上递减，故在上递增，在上递减.故选A.把上面的叙述整理成下面的表格：的范围递增递减递增递减的范围递减递增递减递增递增递减评注：讨论“双二次函数”的单调性的根据是：设都是单调函数，则在上也是单调函数.(1)若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同；(2)若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.解法二：利用导数法求单调区间解∵∴∴当或时，.当或时，.∴当或时，递增.当或时，递减.故选A评注：该题直接用导数法求函数的单调区间，简明快捷.可化为在限制范围内求二次函数的最值问题王远征广东省深圳市蛇口中学（518067）E-mail::有些求变量的取值范围的问题，虽然其表现形式不是求二次函数的最值问题，但通过适当的转化，最终可归结为在给定的范围内，求二次函数的最值问题，解答这类问题的关键是：要善于从较隐蔽的、间接的条件中，求出自变量的范围。例1。已知函数的图象与直线的交点在平面直角坐标系的右半平面内，则的取值范围是。（第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二年级试题）分析：求直线与函数的图象在平面直角坐标系的右半平面内有交点时的取值范围，实质上是通过适当的转化，最终可归结为在给定的范围内，求二次函数的值域。解：设当时，，因为，所以。即函数的定义域。因为，的图象开口朝上，在对称轴的左侧，此函数为单调减函数，所以：（注：于是：。一般地，对于由初等函数和二次函数复合而成的函数，在解题时务必从较隐蔽的、间接的条件中，求出中间变量的范围。例2．（2003年4月13日，第14届“希望杯”全国数学邀请赛高一年级第二试试题）关于的方程在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围。分析与解答：原方程可化为：（1）如果在“方程”的圈子内思考，就事论事，由“方程在区间上恰有两个不等的实根”及根与系数的关系，可得：这样，较难求出的取值范围。当