创新方案高考数学复习人教新课标等比数列及其前n项和高中数学一、等比数列的性质：1.任意一项不为0的等比数列第n项与第1项的比是公比q的n-1次方，即an/a1=q^(n-1)；2.等比数列前n项和为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。二、等比数列的应用：1.计算资本的倍增时间：当利率为r时，一笔本金的倍增时间为T=log2(2/r+1)，如果利率为q，则单利的运算公式为：F=Pq^n，其中F表示资产的总价值，P是本金，q为利率，n为投资周期。2.研究人口增长规律：人口增长可以看作是一个等比数列，其中第一项为初始人口，公比为出生率与死亡率的比值，即出生率/死亡率，然后就可以根据等比数列的性质预测未来的人口数量。3.计算投资回报率：一个等比数列的前n项和可以表示为P(1-q^n)/(1-q)，其中P是本金，q是年复利率，(1-q^n)/(1-q)是投资年数的折现系数。因此，利用等比数列的公式可以计算出投资的回报率。三、例题：1.若等比数列的第1项为a，公比为q，前n项和为S，求第n项的通项公式。解：根据等比数列的性质可得，S=a(1-q^n)/(1-q)，又由an/a1=q^(n-1)得an=aq^(n-1)，将S代入可得aq^n-aq+S-qS=0，整理得到an=aq^(n-1)=a(S-q^n)/(S-q)。2.已知等比数列的第1项为2，第4项为1/2，求公比和前8项的和。解：由等比数列第n项的通项公式可得，a4=a1*q^(4-1)，即2*q^3=1/2，求解得q=1/2，因此前8项的和为S=2(1-1/2^8)/(1-1/2)=255。四、练习题：1.已知等比数列的第1项为3，公比为1/2，求第7项的值。2.若等比数列的第1项为a，公比为q，前n项和为S，求S与a的关系式。3.某企业每年底将利润全部投入银行，银行按年利率5%计算，若该企业在2015年底投入资金100万元，则在2020年底该企业利润翻倍的资金需求是多少？4.设一等比数列的前3项之和为1/3，前5项之和为7/81，求该等比数列的公比。5.有一个等比数列，前6项的和为31/3，前12项的和为63，求这个等比数列的首项和公比。