反比例函数专题研究反比例函数问题是中考中的重点问题之一，作为填空题的压轴题，它具有一定的区分度。这类问题考查的重点包括反比例函数的概念、性质以及确定反比例函数的解析式等。其考查方式主要分为两类：（1）确定反比例系数k的值；（2）依据双曲线上点的性质探究线段关系式。一、解题的基本方法：对反比例函数问题的分析中，核心是要抓住图象上点的代数意义和几何意义，借助图象上的点的代数、几何性质，建立方程求解；有时要适当设双曲线上点的坐标（双元或单元），用坐标转化题中的几何条件信息，利用双曲线上的点的代数、几何性质，再建立方程求解。具体来说，抓住以下关键：（1）应用好双曲线上的点和反比例函数式的关系：点在双曲线上点的坐标满足其解析式；（2）灵活运用一个顶点在双曲线上的三角形或矩形的面积关系（即的几何意义）；（3）正确处理好顶点在双曲线上的图形中的整体和局部的关系；（4）灵活运用数形结合思想、方程思想；（5）恰当地设元表示点的坐标，进行线段长与点的坐标的转化，借助几何关系（如线段关系）来转化坐标。二、基本图形和结论：1.如图1，点C（x,y）是反比例函数上任意一点，结论：①xy=k；②S⊿AOC=S⊿BOC=，S矩形OACB=2.如图2，矩形OABC交反比例函数于E、F两点，则有：①；②；③EF∥AC3.如图3，直线CD交反比例函数于A、B两点，则有：AC=BD.4.如图4，点A、B是反比例函数上的两点，过A、B向坐标轴作垂线，垂足分别为C、D、E、F，则有：S⊿AOB=S梯形ACDB=S梯形AEFB.5.如图5，矩形OABC交反比例函数于E、F两点，EM⊥OA，FN⊥OC，EM、FN交于点D，则有：①S矩形OMDN•S矩形DFBE=S矩形MAFD•S矩形NDEC；②EM•FN=(或S矩形OABC•S矩形OMDN=k2)6.如图，矩形矩形ABCD的对角线BD经过原点，AB∥x轴，点C在反比例函数上，则有：①S矩形ANOE=S矩形OFCM（或OE•ON=OM•OF==）三、典型例题：（09年武汉中考题）如图，直线与双曲线（）交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点，若，则．解：分别过A、B作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足为M、N，易证⊿AOM∽⊿BCN，所以又因为A在y=上，所以设A为（3a,4a），则BN=2a,CN=1.5a，所以B的坐标为（+1.5a，2a），根据A、B在双曲线的代数意义，得：3a•4a=(+1.5a)•2a,解得:a1=1，a2=0(舍去),所以P的坐标为（3，4），所以k=12（09年武汉4月调考）如图，直线y=x向右平移b个单位后得直线l，l与函数y=(x>0)相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2－OB2=________解：过A作AC⊥x轴于C，设A的坐标是（a,b）,则ab=6,因为直线y=x是一、三象限的角平分线，所以平移后的直线与x轴所夹的锐角是45°，所以⊿ABC是等腰直角三角形，AC=BC=b,OA2-OB2=(a2+b2)-(a-b)2=2ab=12.(注：本题也可以用特殊值法解决)四、实战演练：1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B点，与的图象交于C、D点。E是点C关于点A的中心对称点，EF⊥OA于F。若△AOD的面积与△AEF的面积之和为时，则。2.如图，矩形OABC的边AB、BC分别交双曲线（）D、E两点，DF⊥y轴于点F，EG⊥x轴于点G，DF、EG交于点H，若矩形OABC的面积为9，矩形OGHF的面积为1，则k=.3.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在轴、轴的正半轴上，点G为矩形对角线的交点，经过点G的双曲线在第一象限的图像与BC相交于点M，交AB于N，若已知,则的值为.（第1题）（第2题）（第3题）4.如图，点P为双曲线（x＞0）上一点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，PA、PB分别交双曲线（x＞0）于C、D，连CD，若S△PCD=1，则k=．5.如图，直线y=x+b交双曲线（x>0）于A、B两点，交x轴于C，交y轴于D，若A为BC的中点，S⊿OBD=1.5，则k=6.矩形OBAC中，AB、AC分别与双曲线交于D、E两点，AE=2CE，若,则k=.(第4题)(第5题)(第6题)7.如图，已知直线与两坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，点A、D关于y轴对称，若，则.8.如图，已知直线与x轴交于A点，与双曲线交于B、C两点，CD⊥y轴于点D，若，则.9.如图，等腰Rt△ABC，∠BAC=90º，A点的坐标为（2，0），过B点的双曲线y=（x＞0）恰好经过BC的中点D，则k的值是(第7题)(第8