-1-初二数学青岛版（一）、二次根式及其性质一周强化一、一周知识概述1、二次根式一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．3、二次根式的性质(3)4、积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．5、商的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)-2-商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．6、最简二次根式如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的性质，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．化简：．分析：-3-待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．解：由数轴上点的位置可知a>b，00，b0，b－10),则＝2a.两边平方，得-16-7＋3－2＋7－3＝4a2.整理，得4a2＝10.∵a>0,∴a=.∴原式＝．例2、化简：＋．解：设n＋2＋=a,n＋2－=b,则a＋b=2n＋4，ab=4n＋8.原式＝＝＝－2＝－2＝n.-17-（三）、二次根式的乘除法一周强化一、一周知识概述1、二次根式的乘法法则(a≥0，b≥0)即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．注意：①此法则可推广到多个二次根式的情况：如（a，b，c，d都是非负数）；②如果根号前有系数，就把各个系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数；③二次根式运算的结果，应该尽量化简，如最终结果不要写成；④被开方数相乘的时候，往往不求出乘积，而是考虑因数分解或因式分解，以便进一步的化简.如直接得到，而不要先写成；⑤二次根式相乘也要有一定的灵活性，如果不是最简二次根式，也可以先把它们化简成最简二次根式，然后再相乘，反而简便些.如.2、二次根式的除法法则(a≥0，b＞0)即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．注意：①如果根号前有系数，就把各个系数相除，仍旧作为二次根号前的系数；-18-②这种方法的局限性比较大，它只适用于被除式与除式的被开方数恰好能整除的情况.如.当被除式与除式的被开方数不能整除时，如我们把它化成没有什么意义，这时就要采用分母有理化的方法来进行.因此二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中根号的方法来进行.③二次根式相除，最后的结果必须化成最简二次根式.3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：①在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；②有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；③二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．2、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3、二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律（分配律、