第九章第6讲[A级基础达标]1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为()A．椭圆B．线段C．两条射线D．双曲线【答案】D2．(2020年浙江)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))＝2，且P为函数y＝3eq\r(4－x2)图象上的点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))＝()A．eq\f(\r(22),2)B．eq\f(4\r(10),5)C．eq\r(7)D．eq\r(10)【答案】D3．(2020年郑州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4－m)＝1(0＜m＜4)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则m＝()A．1B．eq\r(3)C．2D．3【答案】A4．(2020年武汉月考)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1(x＞0)，点F(2,0)，点M是双曲线C的一个动点，点N满足eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，则点N到原点的最短距离为()A．2B．eq\r(3)C．eq\r(2)D．1【答案】B5．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,5)【答案】C【解析】由x2－y2＝2，知a＝b＝eq\r(2)，c＝2.由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4eq\r(2)，|PF2|＝2eq\r(2).在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(3,4).6．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)和椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值为________．【答案】9【解析】椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1.因为双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)和椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，所以m＋n＝1(m＞0，n＞0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))(m＋n)＝5＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥5＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝9.当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)，即m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(2,3)时取等号．所以eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值为9.7．已知双曲线的一个焦点为F(0，eq\r(5))，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________________________．【答案】eq\f(y2,4)－x2＝1【解析】设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5)，,\f(a,b)＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,a＝2b))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.8．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点且实轴长为2eq\r(5)的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.【答案】2eq\r(13)【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，由双曲线的定义知