第六节双曲线1．双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的____________________为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.(1)当__________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当__________时，P点的轨迹是两条射线；(3)当__________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质坐标轴1．在平面内满足|PF1|－|PF2|＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)的动点P的轨迹是双曲线吗？【提示】不是双曲线．|PF1|－|PF2|＝2a，表示的几何图形只能说是离焦点F2较近的双曲线的一支．2．双曲线的离心率是怎样影响双曲线“张口”大小的？【答案】C【答案】C3．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【思路点拨】(1)由双曲线定义，求△PF1F2的边长，根据余弦定理可解．(2)探求|FA|与|FB|间的关系，借助双曲线定义求轨迹方程．【答案】C1．(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点F的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a＜|F1F2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【思路点拨】由已知椭圆的焦点和离心率得a，b满足的方程．1．确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．(1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．(2)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．【答案】C双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．求双曲线的标准方程：(1)定义法，由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，写出方程．(2)待定系数法，即“先定型，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．从近两年的高考看，双曲线的标准方程及几何性质是高考的热点，特别是双曲线的几何性质，几乎每年均有涉及，且主要以选择题和填空题为主，属中低档题目，在解答过程中，为了挖掘题目的隐含条件，应充分利用数形结合的思想．【答案】B错因分析：(1)错求双曲线的渐近线方程，导致方程①错误；致使误得a2＝4，b2＝5,(2)概念不清误以为焦点为(2c，0)或混淆a，b，c间的关系，错认为a2＝b2＋c2，导致无果而终．防范措施：(1)双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程右端的常数“1”变为“0”即可．(2)区别好椭圆与双曲线中“a，b，c之间关系”，双曲线中a，b，c三者之间，c最大，应为c2＝a2＋b2.【答案】A【答案】B【答案】A课后作业（五十六）