出卷老师：骆世广密封线学号：姓名：班级：广东金融学院2009年数学竞赛试题参考答案题号1234567891011121314总分得分一、微积分部分：（共5小题，每小题10分）1.设是多项式，且；，求.解由知由知．，所以2．将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为，且这是条件极值问题。作函数为由得条件驻点，其中由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。所求的最小面积为3.设，且，当时，有，试求。解答：由，知即解出代入初始条件即得（）4.设其中均为实数，为正整数。已知对一切有试证证由于因此5.将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.解:又f(0)=,所以=因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以令，得,再由，得二、线性代数部分：（共3小题，每小题10分）6.求n阶行列式Dn=，展开后的正项总数。解：Dn=2n–1，设Dn展开式中正、负项总数分别为x1,x2，则x1+x2=n!，x1–x2=2n–1，于是正项总数为x1=。7.已知３阶方阵的特征值为１，－１，２，求的特征值及相似对角阵．解：设，则，，，令-1,1,2得的特征值为：-6.-4.-12。所以相似于．8.λ为何值时，线性方程组λx1+x2+x3=λ−3x1+λx2+x3=−2x1+x2+λx3=−2有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.解：………4分当时，r(A)=r(Ab)=3,方程组有唯一解；方程无解；方程组有唯一解有无穷多解，此时…………………………7分方程组的等价方程组为其通解为其中为任意常数。…………………………………………………………10分三、概率论与数理统计部分（共3小题，每小题10分）9．设有随机变量和，它们都仅取，两个值．已知(1)求和的联合分布密度.(2)求的方程至少有一个实根的概率.(3)求的方程至少有一个实根的概率.解(1)的联合分布密度为-11-11/62/612/61/6(2)方程当且仅当在时至少有一实根,因而所求的概率为(3)方程当且仅当在时至少有一实根,因而所求的概率为10.据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X服从[2000,4000]（单位：吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？解：设应组织货源吨，显然-------------------------1分则收益为---------------------------3分因为X的密度为--------------------------5分所以---------------7分----------------10分当时，达到最大---------------------------------------------12分11.经过十一年的试验,达尔文于1876年得到15对玉米样品的数据如下表,每对作物除授粉方式不同外,其它条件都是相同的.试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响().授粉方式123456异株授粉的作物高度(xi)23.1251220.3752219.12521.5同株授粉的作物高度(xi)27.37521202019.37518.62578910111213141522.12520.37518.2521.62523.252122.125231218.62515.2516.51816.251812.7525.518解本题是历史上第一个对比试验的结果．我们用逐对比较法来检验．计算与的差：的差．得到：-4.25,-9,-0.375,2,-0.25,2.875,3.5,5.125,1.75,3.625,7,3,9.375,7.5,-6今要求在水平下检验假设．现在有所给的数据得．．故接受,即认为两种授粉方式对玉米高度无显著影响．．四、数学建模知识问答部分（共3小题，每小题10分）12.通常大包装的商品与小包装的商品比较，前者的单位重量价格较便宜，这主要是受商品的包装材料成本的影响。现设商品的包装材料成本C与其表面积S成正比，商品的包装呈圆柱形，底面直径D与高h的比为D:h=1：2，试分析商品包装表面积S与商品重量W的关系，进而说明单位重量的包装材料成本与W的关系。解：由题意知,h=2D,商品的体积,因重量与体积成正比，设比例系数为k,则从而,①而包装的表面积为,