第一讲坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A级基础巩固一、选择题1．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的()A．以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面B．以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面C．以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面D．以原点为球心，半径为2的球面解析：由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面．答案：C2．若点M的球坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(π,3)，\f(5π,6)))，则它的直角坐标为()A．(－6，2eq\r(3)，4)B．(6，2eq\r(3)，4)C．(－6，－2eq\r(3)，4)D．(－6，2eq\r(3)，－4)解析：由x＝8sineq\f(π,3)coseq\f(5π,6)＝－6，y＝8sineq\f(π,3)sineq\f(5π,6)＝2eq\r(3)，z＝8coseq\f(π,3)＝4，得点M的直角坐标为(－6，2eq\r(3)，4)．答案：A3．设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为()A．(2，0，2)B．(2，π，2)C．(eq\r(2)，0，2)D．(eq\r(2)，π，2)解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，所以ρ＝eq\r(x2＋y2)＝2，tanθ＝eq\f(y,x)＝0，所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，2)．答案：A4．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0，0，0)的对称的点P的坐标为(0<θ≤π)()A．(－ρ，－θ，－z)B．(ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z)D．(ρ，π－θ，－z)解析：点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．答案：C二、填空题5．空间点P的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,3)，4))，则点P关于z轴的对称点为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(4π,3)，4))6．已知点M的球坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,4)，\f(3π,4)))，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．答案：(－2，2，2eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)，2\r(2)))7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)，\r(5)))，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，所以PN⊥直线Oy.所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ρcos\f(2π,3)))＝1，所以|OM|＝eq\r(ρ2＋z2)＝eq\r(22＋（\r(5)）2)＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，所以|MN|＝eq\r(|PM|2＋|PN|2)＝eq\r(（\r(5)）2＋12)＝eq\r(6).答案：3eq\r(6)8．在球坐标系中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)，\f(π,4)))和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)，\f(3π,4)))的距离为________．解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1，1，eq\r(2))，B(－1，1，－eq\r(2))．所以|AB|＝eq\r([1－（－1）]2＋（1－1）2＋[\r(2)－（－\r(2)）]2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答题9.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(π,4)，θA))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(3,4)π，θB))，求出这两个截面间的距离．解：在△OO1A中，由球坐标知∠AOO1＝eq\f(π,4)，|OA|＝8，所以|OO1|＝8cos∠AOO1＝8×