课时跟踪检测(一)平面直角坐标系一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得．2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选C由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq\o(MN,\s\up7(―→))|·|eq\o(MP,\s\up7(―→))|＋eq\o(MN,\s\up7(―→))·eq\o(NP,\s\up7(―→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选B由题意，得eq\o(MN,\s\up7(―→))＝(4,0)，eq\o(MP,\s\up7(―→))＝(x＋2，y)，eq\o(NP,\s\up7(―→))＝(x－2，y)，由|eq\o(MN,\s\up7(―→))|·|eq\o(MP,\s\up7(―→))|＋eq\o(MN,\s\up7(―→))·eq\o(NP,\s\up7(―→))＝0，得4eq\r(x＋22＋y2)＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y＝\f(1,3)y′))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y＝3y′))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝3y))解析：选B设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ>0，,y′＝μy，μ>0，))则μy＝sinλx，即y＝eq\f(1,μ)sinλx.比较y＝3sin2x与y＝eq\f(1,μ)sinλx，则有eq\f(1,μ)＝3，λ＝2.∴μ＝eq\f(1,3)，λ＝2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝\f(1,3)y.))二、填空题5．y＝cosx经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后，曲线方程变为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′，,y＝\f(1,3)y′，))代入y＝cosx，得eq\f(1,3)y′＝coseq\f(1,2)x′，即y′＝3coseq\f(1,2)x′.答案：y＝3coseq\f(x′,2)6．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋eq\f(y2,16)＝1，则坐标变换公式是________．解析：设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λXλ>0，,y＝μYμ>0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X＝\f(x,λ)，,Y＝\f(y,μ).))代入X2＋Y2＝16得eq\f(x2,16λ2)＋eq\f(y2,16μ2)＝1.∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,4)，,μ＝1.))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(X,4)，,y＝Y.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(X,4)，,y＝Y))7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．解析：∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6＞4.∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴点A的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(y≠0)．答案：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(y≠0)三、解答题8.在同一平面直角