学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.用随机模拟的方法来估计圆周率π的近似值.在正方形中随机撒一把芝麻，如果撒了1000颗芝麻，落在正方形内切圆内的芝麻点数为778颗，那么这次模拟中π的近似值是________.【解析】根据几何概型及用频率估计概率的思想，eq\f(πR2,4R2)＝eq\f(π,4)＝eq\f(778,1000)，其中R为正方形内切圆的半径，解得π＝3.112.【答案】3.1122.已知函数f(x)＝log2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为________.【解析】欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴x∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P＝eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)3.如图3­3­5，在平面直角坐标系中，∠xOT＝60°，以O为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT内的概率是________.【导学号：90200075】图3­3­5【解析】以O为起点作射线，设为OA，则射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件.记“射线OA落在锐角∠xOT内”为事件A，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)4.若将一个质点随机投入如图3­3­6所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________.图3­3­6【解析】由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积S1＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2).故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝eq\f(\f(π,2),2)＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)5.一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________.【解析】边长为3,4,5构成直角三角形，P＝eq\f(3－1－1＋4－1－1＋5－1－1,3＋4＋5)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)6.一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点B或顶点C的距离小于1的地方的概率为________.【解析】由题意知，三角形ABC为直角三角形，则S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8＝24，记“恰在到顶点A或B或C的距离小于1”为事件A.则事件A发生的图形为图中阴影部分面积，∴P(A)＝eq\f(\f(1,2)×π×1,24)＝eq\f(π,48).【答案】eq\f(π,48)7.(2015·苏州高二检测)已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，现在集合内任取一点，使得x2＋y2≤1的概率是________.【解析】集合A表示的平面图形是如图所示的边长为1的正方形，其内切圆为x2＋y2＝1.设“在集合内取一点，使得x2＋y2≤1”为事件A，即所取的点在单位圆x2＋y2＝1上或内部.由几何概型知P(A)＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)8.已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率是________.【解析】如图，由VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC知，P点在三棱锥S­ABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－eq\f(VS­A0B0C0,VS­ABC)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).【答案】eq\f(7,8)二、解答题9.两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率.【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－eq