学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以eq\r(5)为半径的圆的方程为________．【解析】AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________.【导学号：60420079】【解析】∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】相交6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__________．【解析】圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a，∵过点A(a，a)可作圆的两条切线，∴点A(a，a)在圆外，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a2>3－2a，))解得a<－3或1<a<eq\f(3,2).【答案】(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))7．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是________________．【解析】设直线端点为B(x0,0)，C(0，y0)，则eq\f(x0＋0,2)＝2，∴x0＝4，eq\f(0＋y0,2)＝－3，∴y0＝－6，r＝eq\r(4－22＋0＋32)＝eq\r(13)，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝138．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝eq\r(2－32＋－3－42)＝5eq\r(2).而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.【答案】5eq\r(2)－4二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．代入三点的坐标得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b－12＝r2，,a－22＋b－12＝r2，,a－32＋b－42＝r2，))解方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r2＝5，))所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．10．如图2­2­2所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6eq\r(3)m，行车道总宽度BC为2eq\r(11)m，侧墙EA，FD高为2m，弧顶高MN为5m.图2­2­2(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】(1)法一以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．则有E(－3eq\r(3)，0)，F(3eq\r(3)，0)，M(0,3)