第三章矩阵(jǔzhèn)的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质．然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷(wúqióng)多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．§1矩阵(jǔzhèn)的初等变换引例(yǐnlì)解于是(yúshì)解得小结(xiǎojié)：3．上述三种(sānzhǒnɡ)变换都是可逆的．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数(xìshù)和常数进行运算，未知量并未参与运算．定义(dìngyì)1定义2矩阵(jǔzhèn)的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．/等价关系的性质(xìngzhì)：用矩阵的初等(chūděng)行变换解方程组（1）：/特点(tèdiǎn)：注意：行最简形矩阵(jǔzhèn)是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵(jǔzhèn)的行数也是由方程组唯一确定的．例如(lìrú)，特点(tèdiǎn)：行变换定理1设与为矩阵(jǔzhèn)，那么推论：方阵可逆的充分必要条件是利用(lìyòng)初等变换求逆阵的方法：解例２例3求解矩阵方程例4设的行最简形矩阵(jǔzhèn)为，求，并求一个可逆矩阵(jǔzhèn)，使三、小结(xiǎojié)4.利用(lìyòng)初等变换求逆阵的步骤是:§2矩阵(jǔzhèn)的秩一、矩阵(jǔzhèn)秩的概念简单(jiǎndān)结论:例1例2例3另解问题(wèntí)：经过初等变换矩阵的秩变吗？初等变换求矩阵(jǔzhèn)秩的方法：由阶梯形矩阵(jǔzhèn)有三个非零行可知/则这个子式便是的一个最高阶非零子式.例5例6设矩阵(jǔzhèn)秩的的性质：证明(zhèngmíng)：例8证明(zhèngmíng)：若且，则三、小结(xiǎojié)思考题§3线性方程组的解一、线性方程组有解的判定(pàndìng)条件证明：故方程(fāngchéng)有惟一解。/（*）定理(dìnglǐ)4n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n.小结(xiǎojié)例1求解(qiújiě)齐次线性方程组由此即得例２求解(qiújiě)非齐次线性方程组例３求解(qiújiě)非齐次方程组的通解故方程组有解，且有所以(suǒyǐ)方程组的通解为例４/由于(yóuyú)原方程组等价于方程组例５设有线性方程组/其通解(tōngjiě)为这时又分两种情形(qíngxing)：/(思考题思考题解答(jiědá)//故原方程组的通解(tōngjiě)为2025/3/72025/3/7