高考数学易错题精选（二）集合与简易逻辑、极限与复数1．已知集合，则的非空真子集的个数是（）A．30个B．32个C．62个D．64个2．不等式的解集为，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．4．已知和是两个不相等的正整数，且，则=（）A．0B．1C．D．5．设为复数集的非空子集．若对任意，都有，则称为封闭集．下列命题：①集合为封闭集；②若为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)6．已知集合至多有一个元素，则的取值范围；若至少有一个元素，则的取值范围．7．对任意两个集合，定义：，，设，，则＝．8．已知数列的前项和，其中是与无关的常数，且，若存在，则．9．=．10．如果是虚数，则中是虚数的有个，是实数的有个，相等的有组．17．设方程有两个不相等的正根；方程无实根，求使或为真，且为假的实数的取值范围．18．试判断是关于的方程在区间上有解的什么条件？并给出判断理由．19．已知不等式=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．（1）若同时满足=1\*GB3①、=2\*GB3②的也满足=3\*GB3③，求实数的取值范围；（2）若满足=3\*GB3③的至少满足=1\*GB3①、=2\*GB3②中的一个，求实数的取值范围．集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1．C解：因为，又且，所以，故，所以它的非空真子集有个．故选C．2．B解：当时，不等式的解集为，不符合题意，所以，由不等式得：或，即或，则有或，又，所以，即有，故选B．3．A解：当时，，对一切实数，不等式恒成立；当时，要使不等式恒成立，则且，即，所以，故选．4．C解：特殊值法由题意取，则，可见选C．5．①②解：∵集合为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题．②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如符合定义，但是为有限集．④是假命题．如，为整数和虚数构成集合，满足，但不是封闭集，如都在中，但，所以正确的是①②．6．，解：当中仅有一个元素时，，或；当中有个元素时，；当中有两个元素时，；所以，．7．解：依题意有，，所以，，故．8．1解：因为，所以，得，则，故，所以．9．解：=．10．4，5，3．解：四个为虚数；五个为实数；三组相等．11．解：(1)因为，所以，又由对应系数相等可得和同时成立，即；(2)由于，，且，，故只可能.此时，即或，由(1)可知，当时，，此时，与已知矛盾，所以舍去，故；(3)由于，，且，此时只可能，即，也即，或，由(2)可知不合题意，故．12．解：（1）当时，，，；（2）因为，当时，,满足条件；当时，，由，，得：解得.综上，实数的取值范围为．13．解：因为，所以．又，所以．所以方程或者无实根，或者只有负实数根．所以，或，即或，得．故实数的取值范围为．14．解：（1），则，由方程组解得：，即．（2），则中的方程为.因为都是非空集合，由已知必有且，此即方程组和方程组均无解，消去整理得和，所以，，将其看做关于的二元一次不等式，从而，，所以且成立.又，所以,此时，且，由此得，由,得，即所求，．15．解：将代入，得，即．当时，原不等式可化为，解得，即，所以满足要求．16．解：因为，所以由得，由，得：或，故，解得，又，所以，又，无解．综上，正数的取值范围是．17．解：令，则由，且，且，求得，∴，，由或为真，且为假知，、一真一假．①当真假时，，即；②当假真时，即．∴的取值范围是或．答案：18．解：令，则方程在区间上有解的充要条件是：或，由于第一个不等式的解集是，而第二个不等式的解集是，所以关于的方程在区间上有解的充要条件是，因为集合，故而可得结论：是关于的方程在区间上有解的充分不必要条件．19．解：由题意知，解=1\*GB3①得；解=2\*GB3②得或．（1）设同时满足=1\*GB3①、=2\*GB3②的集合，满足=3\*GB3③的集合为，因为，所以：，所以为所求．（2），所以，即方程的两根在内，所以：，所以为所求．20．证明：用数学归纳法证明①当时，，，所以，命题正确②假设当时，有，则当时，，而，所以．又，所以当时，命题正确由①②知，对一切，有．21．证明：（1）设a、b、c为等比数列，，所以．（2）设a、b、c为等差数列，则，猜