§3.1定积分概念与性质确定曲边梯形面积做法直观易懂.其关键点为:把曲边梯形沿着平行于轴方向切割成若干个窄窄长条,每个长条被近似地视为矩形,而矩形面积等于底乘高,这些矩形面积之和便是曲边梯形面积近似值.轻易了解,长条越窄,准确度越高,当我们无限地加密时,近似值便应该趋于面积准确值A.下面用四步法细说以上“积分思想”.第二步近似用矩形面积代替上竖立小曲边梯形面积，即和式作为近似值,被称为在上黎曼(Riemann)和(见图3.1.3).第四步取极限为了确保每一片足够窄,我们要求最宽一片宽度能无限变小,于是记则当时,每个小区间长度也趋于零,此时,黎曼和极限便应该是所求面积A准确值,即这里,显然意味着,但反过来不对,即时不一定意味着,因为分点无限增多并不能确保全部分点距离能任意小(见图3.1.4).例1求认为曲边曲边梯形面积(见图3.1.5).解采取等分点分割法,令于是又取则2.定积分定义定义设函数在区间上有界,用分点把区间分成个小区间,其长度为在每个小区间上任取一点,并作函数值与小区间长度乘积相加后得到和式(称为黎曼和)记当时,假如黎曼和极限存在,而且此极限值与区间分法及取法无关,则称函数在区间上可积,称所得极限值为函数在区间上定积分,记为即其中和分别称为定积分下限和上限,称为积分区间,称为积分变量,称为被积函数,称为被积表示式.以上定义是德国数学家黎曼于1854年严格给定,故也称黎曼和定义.关于此定义,我们还须作几点说明:(1)两个要素.定积分结果是一个常数,这个常数大小取决于两个要素：被积函数和积分区间,与积分表示式变量采取字母无关,即(2)几何意义.由曲边梯形面积问题及定义可知,闭区间上非负函数定积分表示由曲线、轴、直线与所围曲边梯形面积;尤其地,当被积函数为1,或积分区间长度为0时,便有在理论问题中,有时候并不能确定积分上限和积分下限大小关系，所以我们也允许积分下限大于积分上限,并约定以下转换公式:3.1.2定积分性质性质1分项积分法其中为任意两个常数,这一性质表明常数因子能够从积分中提出来;以及两个函数和积分等于积分之和.性质2分段积分法这一性质表明(见图3.1.6)使用定积分表示量含有可加性:整体等于部分之和.性质3定积分比较若则这一性质表明定积分能够保持被积函数大小关系.结合几何意义和图3.1.7不难了解其含义.性质4定积分预计若则证由性质3可知由性质1得于是不等式成立.其几何意义见图3.1.8.性质5积分中值定理设在上连续,则在上最少存在一点,使证由在闭区间上连续函数知,在上必有最小值和最大值,由性质4,得这说明即常数介于最小值与最大值之间,再由闭区间连续函数介值,定理知,必有一点使得积分中值定理几何意义见图3.1.9,若在上连续,则以区间为底,为曲顶曲边梯形面积必定等于也以为底,某点对应函数值(假设)为高矩形面积.我们称为函数在区间上平均值,它是有限个实数算术平均值推广.例2比较定积分与大小.解在区间上,故从而例4证实不等式证由及性质3得此即线性函数,且于是与关系为由性质5中介绍平均值计算公式得