第六节空间向量及其运算1．空间向量在空间中，具有_______________的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝______．(2)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝____________．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).1．(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？【提示】不一定成立．∵(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，又c与a不一定共线，∴上式不一定成立．2．若a，b是平面α内的两个不共线向量，c＝xa＋yb，则表示c的有向线段与平面α是什么关系？【提示】表示向量c的有向线段与平面α平行或在平面α内．【答案】B【答案】A3．已知a＝(1，2，－2)，b＝(0，2，4)，则a，b夹角的余弦值为________．4．(2013·汕头模拟)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．【思路点拨】结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则及数乘向量运算求解．应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较(1)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________．(2)如图7－6－4，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．空间向量是平面向量的拓展，对空间向量的研究与平面向量进行类比可事半功倍．用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．从近两年高考试题看，空间向量的概念及其运算很少单独命题，多与空间几何体结合求解有关角、距离及证明平行或垂直等问题，体现向量的工具性．用向量法求解这类问题时，要树立基底意识，合理选取基底优化运算．【答案】B【答案】D课后作业（四十九）