巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文PAGE\*MERGEFORMAT4第四讲：三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.外心有如下美妙的性质：性质1:外心是三角形三条边上的中垂线的交点。也就是说，三角形的外心到三顶点的距离相等。性质2：设O是△ABC所在平面内一点，则O为△ABC的内心的充要条件是满足下述条件之一：（1）：(2):必要性显然，充分性只需注意到定弦一侧张定角的轨迹圆弧是唯一的即可得证。性质3：。性质4：直角三角形的外心为斜边中点，锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外。性质5：三角形的外心到三边的有向距（外心在形内一侧时为正，不然为负）之和等于其外接圆半径与内切圆半径之和。二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.三角形的重心有下列有趣性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则；（2）设G为△ABC的重心，则；（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则；（4）设G为△ABC的重心，则有如下数量关系①；②；③（P为△ABC内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即最小；可用解析几何方法证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．P(x，y)，则S=(x－x1)2+(y－y1)2+(x－x2)2+(y－y2)2+(x－x3)2+(y－y3)2=3x2－2(x1+x2+x3)x+(x12+x22+x32)+3y2－2(y1+y2+y3)y+(y12+y22+y32)显然，当x=eq\f(1,3)(x1+x2+x3)，y=eq\f(1,3)(y1+y2+y3)时，S取得最小值．即当P为ABC的重心时，S取得最小值．⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；设三角形ABC的三边长为a、b、c，点P到三边的距离分别为x，y，z．则2=ax+by+cz≥3eq\r(3,ax·by·cz)．即xyz≤eq\f(2,3eq\r(3,abc))．等号当且仅当ax=by=cz，即PAB、PBC、PCA的面积相等时成立．此时P为ABC的重心．掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.垂心有如下美妙性质：△ABC的垂心为H，D、E、F为垂足，则有三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（3）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；（4）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；（5）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则．（6）△ABC的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形周长最短。证明(Fejer方法)分成几部分来证明：1先在BC上任取一点D，固定D，求出以D为一个顶点⊿ABC的内接三角形中周长最小者．作D关于AB、AC的对称点D’、D”，连D’D”交AB、AC于点F、E，连DF、D’F，DE、D”E，对于任一以DD一个顶点的⊿ABC的内接三角形XPQ，连QD’、QD，PD”、PD，于是可证DE+EF+FD=D’D”≤D’Q+QP+PD”=DQ+QP+PD．即⊿DEF为固定点D后周长最小的内接三角形．2当点D的BC上运动时，对每一点D，都作出1中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．连AD、AD’、AD”，则AD=AD’=AD”，且D’AB=DAB，D”AC=DAC，于是D’AD”=2A．所以D’D”=2ADsinA．当点D在BC上运动时，以点D为BC边上高的垂足时AD最小．3说明此时的最小三角形就是⊿ABC的垂足三角形．由于D为BC边上的垂足．对于垂足三角形DEF，由DEC=AEF，而DEC=CED"，故点E在D’D”上，同理，F在D’D”上，即⊿DEF为所求得的周长最小三角形．(Schwarz解法）这是一个非常奇妙的证法：如图，⊿DEF为⊿ABC的垂足三角形，⊿PQR为⊿ABC的任一内接三角形．作⊿ABC关于AC的对称图形⊿ACB1，由DEC=FEA，故EF的关于AC的对称线段EF1应与DE共线．再作⊿ACB1关于AB1的对称三角形AB1C1，…，这样连续作五次对称三角形，就得到下图：在此图中的DD4=⊿DEF的