1998年第11期数学通讯54从等号出发证明不等式刘有路(山东省金乡县第二中学272200)某些含有等号的不等式的证明题,若从等号成7一项匹配系数.立的条件出发,利用基本不等式,则可迅速获证.下37面举例说明.4a+1+73证∵4a+1·≤①例1已知a+b+c=1,3222217求证a+b+c≥.4b+1+373同理4b+1·≤②132分析:考虑到当且仅当a=b=c=时,不等式374c+1+173取等号,此时,a2=,于是有下面的证法.4c+1·≤③93212∴①+②+③,得证a2+≥a①93712(4a+1+4b+1+4c+1)·≤同理b2+≥b②3934a+4b+4c+3+712,c2+≥c③293又a+b+c=1,12①+②+③,得a2+b2+c2+≥(a+b+33∴4a+1+4b+1+4c+1≤21.c).例4已知x>-1,n∈N且n≥2,1又a+b+c=1,∴a2+b2+c2≥.求证:(1+)n≥1+(贝努利不等式).3xnxa2b2证∵x>-1,∴x+1>0,例2设a,b,c都是正数,求证:++b+cc+a注意到当1+x=1时,不等式取等号,由此,有c21≥(a+b+c)(1+)n+1+1+⋯+1≥a+b2xn-1(第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题)nn(1+x)n·nn-1=n(1+x),分析:注意到当且仅当a=b=c时不等式取等n2∴(1+x)≥1+nx.ab+c22号,此时=,于是有下面证法.x1x2b+c4例5设x1,x2,⋯,xn是正数,求证:++2x2x3ab+c22证∵+≥a①xn-1xnb+c4⋯++≥x1+x2+⋯+xn.xnx1b2c+a同理+≥b②c+a4(1984年全国数学联赛试题)2c2a+bx1+≥c③证+x2≥2x1①a+b4x22①+②+③得x2同理+x3≥2x2②x3a2b2c21+++(a+b+c)≥a+b+c,⋯⋯b+cc+aa+b22222xn-1abc1+xn≥2xn-1n-1∴++≥(a+b+c).xn○b+cc+aa+b22xn例3已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,+x1≥2xn○nx1求证:4a+1+4b+1+4c+1≤21.∴①+②+⋯+○n-1+○n,得12222分析:考虑到当且仅当a=b=c=时不等式x1x2xn-1xn3++⋯++≥x1+x2+⋯+xn.x2x3xnx17取等号,此时4a+1=,因此对要证式的左端的每3例6设a,b,c为正实数,且满足abc=1,试证:©1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net64数学通讯1998年第11期221113a1(c-a1)ssa13+3+3≥+2≥2·①a(b+c)b(c+a)c(a+b)2c-a1(nc-s)nc-s22(第36届IMO试题).a2(c-a2)ssa2同理+2≥2·②证原不等式等价于c-a2(nc-s)nc-s⋯⋯b2c2c2a2a2b23++≥.22()()()an(c-an)ssanab+cbc+aca+b2+2≥2·○nc-an(nc-s)nc-s注意到当且仅当a=b=c=1时不等式取等号,此时∴①+②+⋯+○n,得22bc1a(b+c)222==.a1a2ana(b+c)24++⋯++c-a1c-a2canb2c2a(b+c)+≥bc①2a(b+c)4[nc-(a1+a2+⋯+an)]s(a1+a2+⋯+an)s2≥2·,c2a2b(c+a)(nc-s)nc-s同理+≥ca②b(c+a)4又a1+a2+⋯+an=s,22abc(a+b)2222+≥ab③a1a2ansc(a+b)4∴++⋯+≥.c-a1c-a2c-annc-s∴①+②+③,得例9若0<a1,a2,⋯,an<1,a1+a2+⋯+an=b2c2c2a2a2b2++≥a1a2annaa(b+c)b(c+a)c(a+b)a,则++⋯+≥(Shapiro不1-a11-a21-ann-a13323等式)(ab+bc+ca)≥(abc)=..222a1a2ana1证++⋯++n=(+∴原不等式得证.1-a11-a21-an1-a11a2an11例7设x,y∈R+,且x+y=1,求证(x+)1)+(+1)+⋯+(+1)=+x1-a21-an1-a11-a21251·(y+)≥.+⋯+.y4