必考问题9不等式及线性规划问题【真题体验】1．(2011·南京模拟)已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x＋a≥0}，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析若A，B的交集是空集时，即x2＋2x＋a＜0在1≤x≤2上恒成立．令f(x)＝x2＋2x＋a，因为对称轴为x＝－1，所以y＝f(x)在集合A上递增，所以f(2)＜0即可，所以a＜－8，所以A，B的交集不是空集时，实数a的取值范围是a≥－8.答案[－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－eq\f(a2,4)＝0，即b＝eq\f(a2,4).∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2.又∵f(x)＜c，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＜c，即－eq\f(a,2)－eq\r(c)＜x＜－eq\f(a,2)＋eq\r(c).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m，①,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6.②))由②－①得2eq\r(c)＝6，∴c＝9.答案93．(2012·江苏，14)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则eq\f(b,a)的取值范围是________．解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b≤4c，,3a＋b≥5c，,clnb－a≥clnc⇒b≥ce\f(a,c).))作出可行域(如图所示)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4c，,3a＋b＝5c，))得a＝eq\f(c,2)，b＝eq\f(7,2)c.此时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))max＝7.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4c，,b＝ce\f(a,c)，))得a＝eq\f(4c,e＋1)，b＝eq\f(4ce,e＋1).此时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))min＝eq\f(\f(4ce,e＋1),\f(4c,e＋1))＝e.所以eq\f(b,a)∈[e,7]．答案[e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2∈[16,81]，eq\f(1,xy2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3)))，eq\f(x3,y4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2·eq\f(1,xy2)∈[2,27]，eq\f(x3,y4)的最大值是27.答案275．(2012·南京模拟)已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x－y≤1，,y≤2.))则目标函数z＝－2x＋y的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2]【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训