一、证明单位阶跃函数的傅里叶变换是证明：（1）令，则得则的频谱（2）因为所以二、若的傅里叶变换分别是，证明卷积的傅里叶变换是。证明：三、解差分方程(1)(2)解：(1)特征方程为：特征根：则通解为：则特解的形式为：即完全解为：由边界条件得：即则完全解为：(2)特征方程为：特征根：则通解为：由边界条件得：即即通解为：四、解差分方程(1)(2)解：(1)特征方程为：特征根：则通解为：由边界条件得：即即通解为：(2)特征方程为：特征根：则通解为：自由项为，且不是特征方程的根，则特解的形式为：即完全解为：由边界条件得：即则完全解为：五、已知的Z变换为，的Z变换为。(1)证明的Z变换为，并由此结论求的Z变换(2)证明的Z变换为证明：（1）因为，将上式两边对z求导：交换求导与求和的次序，上式变为：所以，即的Z变换为。由此(2)即的Z变换为六.已知的Z变换为，证明(1)的Z变换为(2)的Z变换为证明：(1)(2)七、离散系统的差分方程为：(1)求系统函数(2)讨论此因果系统的收敛域、稳定性(3)求单位样值响应(4)求为单位阶跃序列时的零状态响应解：(1)方程取Z变换：则：(2)的两个极点为，它们都在单位圆内，此因果系统的收敛域为，且包含点，是一个稳定的因果系统。(3)将展成部分分式得：取逆变换得单位样值响应为(4)若激励，则于是将展成部分分式得取逆变换得为八.已知离散系统的差分方程为：(1)求系统函数，并讨论此因果系统的稳定性解：方程两边取Z变换：则：的两个极点为，它们都在单位圆内，此因果系统的收敛域为，且包含点，是一个稳定的因果系统。(2)求为时系统的响应解：激励则于是将展成部分分式得：取逆变换得为九.已知为周期函数，且。（10分）(1)证明的傅氏变换是。(2)给出的傅氏变换。证明：(1)因为所以展成傅里叶级数：即所以(2)周期单位冲激序列，系数所以。