七宝中学2023学年第一学期高二年级数学月考2023.10一、填空题（4*6+5*6=54分）1．若直线a平行于平面内的直线b，且a，则a与的位置关系是__________．2．已知tan3，则cos2________．3．已知z2i，则2iz_________．4．过ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA,PB,PC，若PAPBPC，则点O是ABC的______心．5．正方体ABCDABCD的棱长为a，则B到平面BCA的距离为________．11111116．已知ab2，a,b，则ab在a上的数量投影为___________．37．已知平面经过原点O，且法向量为n2,1,2，点P1,2,3，则点P到平面的距离为________．8．已知圆锥的底面半径为3，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为_________．9．如图，圆锥OP的底面直径和高均是1，过OP上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为_________．（第9题）（第10题）10．如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在线段DE上，11111点P到直线CC的距离的最小值为__________．1111．二面角l的大小为60，其内一点P到,的距离分别为1和2，则P到棱l的距离为__________．12．在四面体PABC中，ABC是边长为2的等边三角形，PA平面ABC，且PA1，动点M,N分别在线段PA（含端点）上和PBC所在平面中运动，满足MN1．记ABC的外心为O，则ON的最大值是__________．二、选择题（4*2+5*2=18分）13．空间中有三条直线a,b,c，则“a,b,c两两相交”是“a,b,c共面”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．已知0a1，b1，则函数yaxb的图像必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．已知平面平面，l，直线a在平面内，直线b在平面内，且a,b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．已知矩形ABCD，M是边AD上一点，沿BM翻折ABM，使得平面ABM平面BCDM，记二面角ABCD的大小为，二面角ADMC的大小为，则（）A．B．C．D．222三、解答题（14+14+14+18+18=78分）axb17．已知定义在上的函数fx为偶函数，且f01．1x2（1）求yfx的解析式；（2）判断并用单调性定义证明yfx在0,的单调性．18．在四棱锥PABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA底面ABCD，E为BC2的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．2（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）319．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．（1）求石凳的体积；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元）20．如图，已知四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，1BADADC90，ABADCD1，PD2．2（1）若M为PA中点，求证：AC//平面MDE；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角PQ的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．3PC421．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l．（1）当R1，l2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R1，l12时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面