上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第1∼6题每题3分,第7-12题每题4分）()1．向量a=1,0,1，b=(x,1,2)且a⋅b=3，则x=__________．2．已知两条相交直线a，b，且a平面α，则b与α的位置关系是__________．2π3．将一个圆心角为3π3，面积为的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________．4．如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）．根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线AB垂直于桌面．5．已知四棱锥P−ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________．6．正方体ABCD−ABCD的棱长为1，点E是棱CC的中点，则点E到平面ABD的距111111离是__________．7．正三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为__________．8．下列说法正确的是__________．一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量．如果直线AB与CD是异面直线，那么向量AB与CD不共面两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．19．设AB和CD都是平面α的垂线，其垂足分别为B，D．已知AB=5，CD=9，BD=3，那么线段AC=__________．10．设O，O分别是圆柱P的上、下底面π，π的中心．Q是以O为顶点，π为底面1212ii3−i的圆锥体(i=1,2)，若圆柱P的体积为1，那么圆锥Q，Q的公共部分的体积为__________．1211．正四棱柱ABCD−ABCD中，已知AB=2，AA=1，那么以A为球心，半径为211111的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．12．已知空间四个单位向量e，e，e，e满足：e+e=e+e=2e+e+e+e=1，123412341234则e⋅e的最大值为__________．31二、选择题（本大题共有4题,满分16分，每小题4分）13．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（）．（保留两位有效数字）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m314．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c的位置关系不可能是（）．A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面15．已知二面角α−l−β的大小为60°，点P，Q分别在α，β上且PQ⊥l，若点P到β33αPQ的距离为，点Q到的距离为2，则两点之间的距离为（）．A．3B．1C．2D．2216．如图，已知正三棱柱ABC−ABC中AC=AA，E，F分别是棱BC，AC上的点．记111111EF与AA所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F−BC−A的平面角1为γ，则（）．A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β三、解答题（本大题共有4题,满分42分）17．（本题满分10分）如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点；（1）求证：PA平面EDB；（2）求三棱锥E−BDC的体积．18．（本题满分10分）2πABCDAB=3AC=AD=2∠BAD=∠CAD=π，∠BAC=，如图，在四面体中，，，32点M，N分别在棱AB，BC上，且AM=BM，CN=2BN．（1）请用AB，AC，AD表示AN，DM；（2）求异面直线AN，DM所成角的余弦值．319．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱ABC−ABC中，平面ABC⊥平面BCCB，11111∠CBB=°60，=AA2=AB4．11（1）证明：BC⊥AC；111（2