1983年第一期·.29,、;,,(二)过D点作AB或AC为平行线如(3)(4)题设中不存在柑似或平行条件则需t1J辅助线且,、(三)过C点作AD或^B的平行线如(5)以辅助线为图形中某线的平行线;(6)(二)该线在图形巾位置的选取,一般可通过。通过本定理的各种证明方法揭示以下的证题坝比例式中在同一直线上的两条线段的各端点律,:(一)在证明成比例的线段或等积线段时若(作者单仪天津市第五中学)复数在证明三角恒等式中的应用霍润德,复数的应用极其广泛本文拟就复数在一”c。”n“一臼士鱼)co娜(+l)1。口证明三角恒等式中的应用作一介绍a,月兮n一2复数Z的模用r表示,幅角用O表示,这‘‘’’·······..n”“”””:,里》里r)。o(O提2‘每一个不等于零的复数一一(1,;二Jz与一zo”n“有序实数对(r0)一对应当艺i〔+(k一1)d〕=l。k时,规定r=0,O不确定我们知道,每一个复数Z都可以表示成三角形式,反过来,81··*·二d。:()-n%l,三角函数也可用复数表示出来例如设nzad斗02d〔之尸。,SZ=coso卜isino-Z=e58一s0则coss=n2一2++一·Z玄21ZZ21.·,·,二,,,二,·。..。i二⋯⋯⋯⋯(12)-s还0一2一22一212艺口”〔“+(k一1)d〕22一1k=l,tgo2+.证明三角恒等式时只需将i(21)_Sn’,、d三角形式的条件转化为复数形式再通过复巾石晋)。。(a+d斗0数的恒等变换即可一2dSn一、求证:n’‘,··.·,,..··.·.。二⋯⋯⋯⋯<12>:k,in协艺n+.1k=1,匀n百.sln-2=艺Sln长口二一一,一一一恤‘立礴一卫k=1吵了;81n蒸餐些22·’··‘···。,⋯⋯,,,⋯二,⋯⋯<13》,,,·,,.、,··,·.··..。二⋯⋯<11)1n门刀+1一Sln’”-哪n豆co落S二一eo,艺CO如k玩sn艺k=1i兰琴=冬一30-中等数学’·,·‘.‘”,.,,,,·‘,·,·。2⋯⋯心13》se.了了⋯Œ2以l/、、叹=一sn5“一cos、、n4i1百i·21夕台nn+“芝sinZ协=竺i塑些i(1)sn“、i‘砚、“、、.k=12一以/“一2产=一4sinZcos玄+’”In,·,·,。。。。。。。。。。.‘。⋯⋯⋯二二<14>1“·2snn“s.=snZ一i(n+1)“一4iZ芝eosZk“=co511加“k=Z〔1一(n+1)Zn+nZn+几〕······,,,,·.,。”⋯⋯⋯⋯⋯(14>:’S2“一一.一45三nZ一nZ、2k二l)“=工二旦夕吕全艺siD竺nn一n+’一n以(+1Z1k=1)nZ‘”“’·‘·····“。‘.⋯,,,⋯,,,,,⋯⋯,<15>,普ns讥211“n+1)eos一ncos(n+1a一l艺e(Zk一I)“=以加)〕ossnaZi:k=14sin竺。‘,··.···.·.0..·’·。·。2⋯一⋯<15>2nsnn“一nsnn+“.。:+i+1i(1)(4)<1l>式证明如下〔()i〕。口k=eo,a3Z=COS“十ISin以kZk(k4m设则有2,,+s“=1,ii)其中k23,nk比较(2)式与(4)式由复数相等的充要条。二“”n”,+2+3++1一。和SZ22⋯Z().作件即知<11>式成立n..:。、1211>贝叮s=艺k(co坛+招in协)<>式证明与<式相仿eo5,二eosnk=1设Z=骊+11协Wd+isid几(其中d寺o)=.sn“s“+kik(2)叉kki·eo3sco艺k=(“+kd)+iin(“+kd)二则有ZWk1k=l,(k是自然数)用Z乘(1)式两边得n一-”。254+。一ZS=2+22+32⋯作和s=zw广,=21W叉一nn刀干’1W+(n一1)Z+Z(3)k=l一,(1)(3)得,in卫dn了、、,2“+一1,,、Qi一zs=z、一二z·“二C08()艺21d2(k=1sin,,.’1一Z今O即“午Zm允(lfl是整数)_心1一nsn12ndZ(Z)ni一。一n+l.(iZ)S=一一Z、了,、故一,‘n+n一11Zdd十(2n+n十“一”.d2一n+11+n二Z()ZZSn,。=S“从而(1+Z)一5“()又因(1一Z)=(1一COs