第5课时三角函数课后训练巩固提升A组1.函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值为()A.65B.1C.35D.15解析:由诱导公式可得cosx-π6=cosπ2-x+π3=sinx+π3,故f(x)=15sinx+π3+sinx+π3=65sinx+π3.所以函数f(x)的最大值为65.答案:A2.若sinπ2+θ>0,sin(5π-θ)<0,则角θ的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sinπ2+θ>0,sin(5π-θ)<0,∴cosθ>0,sinθ<0,根据三角函数的定义sinθ=yr<0,cosθ=xr>0.∴y<0,x>0.故角θ在第四象限,故选D.答案:D3.已知点A的坐标为(43,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB,则点B的纵坐标为()A.332B.532C.112D.132解析:由题意可知OA=OB=7.设OA与x轴所成的角为α,可知sinα=17,cosα=437.所以sinα+π3=sinαcosπ3+cosαsinπ3=17×12+437×32=1314.所以点B的纵坐标为OBsinα+π3=132.答案:D4.已知sinα+cosβ=63,sinβ-cosα=1,则sin(α-β)等于()A.-112B.-16C.16D.112解析:由sinα+cosβ=63的等式两边平方,得sin2α+cos2β+2sinαcosβ=23①.把sinβ-cosα=1的两边平方,得sin2β+cos2α-2sinβcosα=1②.由①+②得sin(α-β)=-16.故选B.答案:B5.已知tanπ4+θ=3,则sin(3π-2θ)-2cos2θ等于()A.-1B.-45C.45D.-34解析:∵tanπ4+θ=tanθ+11-tanθ=3,∴tanθ=12,∴sin(3π-2θ)-2cos2θ=sin2θ-2cos2θ=sin2θ-2cos2θ1=2sinθcosθ-2cos2θsin2θ+cos2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45.答案:B6.已知cosx=34,则cos2x=.解析:因为cosx=34,所以cos2x=2cos2x-1=2×342-1=18.答案:187.将函数y=cos4x的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数的解析式是.解析:函数y=cos4x的图象向左平移π8个单位长度得到y=cos4x-π8的图象,y=cos4x-π2=sin4x.答案:y=sin4x8.给出下列结论:①函数y=sin(kπ-x)(k∈Z)为奇函数;②函数y=tan2x+π6的图象关于点π12,0对称;③函数y=cos2x+π3的图象的一条对称轴为直线x=-2π3;④若tan(π-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为.解析:y=sin(kπ-x)=(-1)k-1sinx是奇函数,①正确;tan2×π12+π6=3≠0,②错误;cos2×-2π3+π3=-1,③正确;由tan(π-x)=-tanx=2,可知tanx=-2.故sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,④错误.综上可知正确结论的序号为①③.答案:①③9.已知α∈π2,π,且sinα=13.(1)求sin2α的值;(2)若sin(α+β)=-35,β∈0,π2,求sinβ的值.解:(1)∵α∈π2,π,且sinα=13,∴cosα=-223.∴sin2α=2sinαcosα=-429.(2)∵α∈π2,π,β∈0,π2,∴α+β∈π2,3π2,又sin(α+β)=-35,∴cos(α+β)=-45.∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=-35×-223--45×13=4+6215.10.已知函数f(x)=3cos2x-π3-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.(1)解:因为f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)证明:因为-π4≤x≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6.所以sin2x+π3≥sin-π6=-12.所以当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.B组1.若函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2x-π6B.y=2sin2x-π3C.y=2sin2x+π6D.y=2sin2x+π3解